01　平面几何已死，平面几何万岁

几何学是一门古老的学科，其对应的英语单词为geometry。这个词最早源于古希腊语，本意是“丈量土地”。当然，今天的几何学和古希腊的几何学相比有着翻天覆地的变化，但对于中学生来说，仍然要从最简单的点、线、面开始学起。

对于很多中学生而言，平面几何的证明题是非常令人痛苦的：拿尺子或量角器一量，结论明明是对的，但证明过程却难以下笔。代数题好歹能胡诌两句，但平面几何的大题如果不会做，连胡编乱造几句话都很困难，只能把题目抄一遍了事。

其实平面几何在当下的中学数学教育体系里是一个“尴尬”的存在：如果要“玩”竞赛，那么平面几何必须学得非常深；如果只是为了应付升学考试，那么平面几何的学习就会轻松许多，甚至最令人头疼的加辅助线法，都只要十个字就能解决（见第17章）。

原本，平面几何的学习对高中立体几何的学习还有些影响，但现在由于向量法的普及，面对高考中的立体几何题目，很少有人会继续用纯几何的方法平移线段，然后构造三角形去计算各种角度。因此，平面几何对于高中数学学习的影响也日渐式微。

不过，由于我们的中小学教育中没有开设逻辑学课程，窃以为，平面几何其实多少起到了替代逻辑学的作用。

在正式讲平面几何之前，我们还要先了解这样一个问题：平面几何到底是一门什么样的课程？

杨振宁先生曾经赋诗一首，细数历史上最伟大的五位几何学家：欧高黎嘉陈。除去第一位，其余四位的研究范畴都是现代几何学，唯独第一位“老欧”是玩古典几何学的。“欧家”家世悠久，人才辈出，有写书法的欧阳询、写作文的欧阳修，还有这位几何学之集大成者及创始人——欧几里得。这当然是在开玩笑。

欧几里得的传世之作《几何原本》揭示了平面几何研究的核心内容：位置关系和数量关系。他用五条公设和若干公理就构造了庞大的几何体系——这是一项惊人的成就。假如达·芬奇堪比一个穿越回文艺复兴时代的现代人，那么相比之下，欧几里得在几何学上的高瞻远瞩也不遑多让。直到现在，《几何原本》仍代表着古希腊智慧的巅峰。

很多读者来问我：贼老师，怎么才能学好平面几何？

老读者都知道，我是“天赋论”的拥趸。在我看来，很多学生因为天赋所限“学不好”平面几何，换谁教都不行。我当教师这么多年，最反感的一句话就是“没有教不好的学生，只有不会教的老师”。这句话，教师用来自省可以，但是家长用来要求教师教好自己家孩子，大多数情况下就是个笑话。

然而，对每个孩子来说，所谓“学好”的标准是不一样的。自行车赛手能骑到80千米 / 时，那就堪称顶级选手了；但法拉利开到80千米 / 时的时候，人家司机还没开始“轰油门儿”呢。所以，家长首先要对自己的孩子有充分的了解，明白孩子能力的“天花板”在哪里。当你真正了解自己的孩子后，也许会觉得孩子的平面几何学得还是不错的。

平面几何是数学的一个分支，如果你想要学好它，也要遵从数学学习的一般规律。最根本的原则就是：要提高对数学的认识。什么叫对数学的认识呢？比如说，等你学了解析几何以后，你如果能够意识到，其实平面几何作为数学的一个分支来说已经“死”了，没有任何新的东西了，这就是一种认识到位的标志。所有的定理、命题，你都可以通过计算“暴力破解”；如果再加上三角和复数的工具，理论上，平面几何就没有任何研究的必要性了。那些“活着”的数学分支，应该会有很多新问题能推动这一分支的发展。

既然平面几何已经是一个“死亡分支”了，为什么我们还要学它呢？

首先当然是出于实用性。“几何”最早在古希腊语里的意思就是“丈量土地”，所以这是一门标准的应用数学，而且是一个非常实用的工具。这就像一把锤子，可锤子除了敲东西，还能搞出什么革命性的创意吗？很难。然而这不妨碍锤子是一种很有用的工具。

其次，我们大多缺乏系统的逻辑学教育，而平面几何是逻辑学最好的替代品。家长自己在学习平面几何的时候应该深有体会：解题时，从上一步到下一步，必须要在逻辑上成立才能走过去；不然，对于任何平面几何的证明题，只要把题目抄一遍就完了——反正这些条件肯定能推出最后的结论。通过反复的训练，我们就能借助学习平面几何完成基本的逻辑训练。

那么，初学者该怎么把平面几何学好，而老师又怎么才能把这门课教好呢？

我们知道，现实生活中的物体可以从点、线、面、体几个维度进行刻画。在初中平面几何的学习过程中，我们主要研究与点和线这两个维度相关的问题。

作为学生来说，如果学完了平面几何却总结不出这门课是研究图形的位置关系和数量关系的话，那就算是白学了。这两个关系也可以作为家长测试数学老师能力的“试金石”——只要你胆子足够大。当然，这是从宏观层面来说。如果从具体内容的角度来说，三角形无疑是整个初中平面几何的重中之重。

你想想，三角形是最简单的直线型封闭图形。然而，四边形或圆的相关知识点，哪一个不是和三角形息息相关？什么是四边形？那不就是两个三角形拼起来的图形吗？圆的知识点，考到最后也是考直线段的图形，因为初中生几乎不具备处理曲线问题的能力啊！

我在这里先写这么一篇文章，是因为在以往的教学过程中，很多孩子学完了平面几何也不知道自己到底在学什么，到底什么是学习的重点。而作为家长，就算你已经把平面几何的证明方法丢到爪哇国去了，但你仍然可以给孩子一些非常有用的建议——无论是在大方向上，还是针对具体内容。

所以，这就算是平面几何学习的总纲吧。就像我在讲初中代数的时候，总会特别强调因式分解一样，在学习平面几何时，如果你把三角形给弄明白了，那么平面几何一般来说就没问题了。后面，我也会用较多篇幅来讲三角形的相关内容。

从平面几何证明的方法来看，大致分为纯几何法和计算法。苏联原有的教育体系偏重用纯几何的做法，即利用几何中的各种变换技巧，加一堆的辅助线；而欧美的教育风格喜欢算、算、算，用很少的辅助线来解决问题。当前，我国初中阶段的平面几何教学走的还是前一种路线，几乎不涉及运用解析法或三角法。只有到了高中，专门走数学竞赛路线的学生才有机会接触到这些通过计算来证明平面几何的方法。

在题目相对比较简单的时候，纯几何法占优势；在题目比较难的时候，相对来说，计算法会占优势。当然，两者之间的界限并不是特别明显，在大多数情况下，还是根据个人的偏好来决定。

所以，我在写这些教学文章的时候，尽量采用我认为最自然的思路——注意，是最自然的思路，而不是最简洁的思路。毕竟，我掌握的技巧肯定比一般的学生和家长要多一些。有些定理和方法会完全“超纲”，但使用起来非常简便，假如遇到这种情形，我就尽量避免使用“高超”技巧，而是采用初学者的思维方式进行思考。由于每个人的思维模式不一样，因而在整理思路的时候，每个人对所谓“最自然的思路”的理解也不太一样。这并不是什么原则性问题，关键是要帮助孩子建立起属于自己的一套自然的思路——不要你觉得自然，要他觉得自然，才是真自然。

因此，我为本书选择例子的时候遵循了一个基本原则：是否有自然的思路。有些平面几何的难题需要用到的解题技巧过强，甚至完全没有逻辑可言，证明的时候全靠想象力，这种题目一般不予收录——能做好这种难度题目的孩子已经不需要看我的这些文章了。而在我所举的例子中，有些题目确实有难度，但是，只要你有耐心，基本上不需要靠太大的想象力来解决。也就是说，只要你的基本功扎实，完全可以通过题设中的条件，一点点把方法给“抠”出来。

经常有很多读者给我留言，说自己有更好的解法。讲真的，我挺感动的。毕竟，在这个浮躁的年代，居然还有人愿意去做点数学题，这是很难得的事情。只是有些解法在我看来也许不够“自然”，技巧性过强，与我的教学理念有些冲突，所以我在这里没有选用那些方法。

从我内心来说，我很希望把解析几何的办法教给大家，因为那样一来，大家用来应付中考是绰绰有余了。然而，这属于被“封禁”的技能，所以我也只能采用纯几何法来进行推导。

不是每个人都要去当数学家，这既无可能，也无必要。过度“炫技”，除了打击孩子的信心、破坏学习兴趣以外，没有任何的用处。越是平平无奇的解法反而越能打消孩子对学习平面几何的恐惧。证明的过程长一点，其实不可怕。但是，如果证明过程非常精彩又很简短，以至于让孩子发出了“这怎么想得到”的惊叹，那么这种方法在教学上反而多半是不太好的办法。应该说，我列举的平面几何基本训练例题，大多数孩子完全可以做好。总体而言，人的智力水平分布是成橄榄型的：所谓“极聪明”和“极笨”的人都是少数，如果把所有人的智商值取平均值，那么在正负一个标准差范围内，就包含了接近70%的孩子。所以说，大部分孩子可以做好平面几何的基本训练，这是有数据作为支撑的。

当然，具体到细节上，那就千变万化了。哪有什么教辅图书或教学方法能适用于所有人呢？假如真的有，那么“因材施教”岂不成了一句空话？所以，一个人能教会所有学生不符合实际情况。我只能给学习的学生或辅导孩子的家长提供一种思路，同时把一些关键之处给大家罗列出来，让家长能很好地判断孩子到底有没有真的掌握这些知识点。

平面几何的核心问题在于两种关系：数量关系和位置关系。一切的问题都是围绕着这两种关系展开的，所有辅助线的添加方法也都是由这两种关系决定的。孩子的题目刷得再多，假如不明白自己到底在干什么，那么他的能力提高得会很慢；反之，有了这个指导思想，孩子上手就会很快。

所以，如果家长想要“下场”亲自辅导孩子，一定要站得高一点，才能够帮助孩子取得实质性的进步。如果你要判断老师的教学能力，那种只会让孩子做题，然后一个接一个讲题目的老师，恐怕水平有限。我的目的不仅是帮助家长提升对数学学习的认识水平，也是帮助大家甄别孩子碰到的数学老师的教学水平。