2.4　矩阵的特征值和特征向量

特征值问题是数值代数的基本问题之一，无论在理论上还是在工程技术上都非常重要。工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量问题。

特征值和特征向量的定义如下：

定义2.2　设A是个n阶矩阵，λ₀是一个数，如果有非零列向量（即n×1矩阵）α，使得

就称λ₀是A的特征值，α是A的属于特征值λ₀的特征向量，简称特征向量。

设

是矩阵

的属于特征值λ₀的特征向量，那么

Aα＝λ₀α

具体写出来，就是

将等式两端乘开，得

移项，得

这说明，（c₁，c₂，…，c_n）是齐次线性方程组

的一组解。因为这个齐次方程组有一组非零解，所以它的系数行列式等于零：

即

|λ₀E－A|＝0

定义2.3　A是个n阶矩阵，λ是一个未知量。矩阵λ E－A称为A的特征矩阵，它的行列式

即f（λ）＝|λ E－A|＝λⁿ＋a₁λ^n－1＋…＋a_n

这里a₁＝－（a₁₁＋…＋a_nn），a_n＝（－1）ⁿ|A|。f（λ）是首项系数为1的λ的n次多项式，叫作A的特征多项式。f（λ）的根叫作A的特征根。n阶矩阵有n个特征根。

可见，矩阵A的特征值就是A的特征多项式的根，所以特征值也叫特征根。

归纳以上讨论，可总结出矩阵A的特征值和特征向量的求法：

（1）计算A的特征多项式f（λ）＝|λ E－A|；

（2）求出f（λ）在数域P中的全部根，就是A的全部特征值。

（3）对于每个特征值λ₀，求出齐次方程组的非零解，就是属于λ₀的特征向量。

【手工计算例10】　设

求A的特征值和特征向量。

解：先求A的特征多项式

解之得

λ₁＝1， λ₂＝－2

把λ₁代入齐次线性方程组（2-2）中，得

化简后，两个方程都变成x₁＝－x₂，所以它的一个基础解系是。

把λ₂代入式（2-2）中，可解得它的一个基础解系是。

因此，A的特征值为1和－2，属于1的特征向量是，属于－2的特征向量是（k，k全不为零）。₁₂

【手工计算例11】　求矩阵A的特征值和特征向量。

解：先求A的特征多项式

所以，A的特征值为λ₁＝2，λ₂＝－7。

把λ₁代入式（2-1）中，得

化简，得

x₁＋2x₂－2x₃＝0

它的一个基础解系是

把λ₂＝－7代入式（2-2）中，得

化简，得

它的一个基础解系是

因此，A的特征值为2和－7。

属于－7的特征向量是

属于2的特征向量是