1.1　有限元法简介

有限元法的基本概念：把一个连续的物体划分为有限个单元，这些单元通过有限个节点相互连接，承受与实际载荷等效的节点载荷，并根据力的平衡条件进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合，使其能够作为一个整体进行综合求解。

1.1.1　有限元法的基本思想

工程或物理问题的数学模型（基本变量、基本方程、求解域和边界条件等）确定以后，有限元法作为对其进行分析的数值计算方法的基本思想可简单概括为如下3点。

（1）将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它们边界上的节点将它们相互连接为一个组合体，如图1-1所示。

图1-1　有限元法的单元划分示意图

（2）用每个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求解的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或其导数）在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在连接相邻单元的节点上，场函数具有相同的数值，因此将它们作为数值求解的基本未知量。这样一来，求解原待求场函数的无穷多自由度问题转换为求解场函数节点值的有限自由度问题。

（3）利用和原问题数学模型（例如基本方程、边界条件等）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数节点值）的代数方程组或常微分方程组。此方程组为有限元求解方程，并表示成规范化的矩阵形式，接着用相应的数值方法求解该方程，从而得到原问题的解答。

1.1.2　有限元法的特点

有限元法具有以下特点。

（1）对复杂几何构形的适应性。由于单元在空间上可以是一维、二维或三维的，而且每一种单元可以有不同的形状，同时各单元之间可以采用不同的连接方式，所以，实际工程中遇到的非常复杂的结构或构造都可以离散为由单元组合体表示的有限元模型。图1-2所示为一个三维实体的单元划分模型。

图1-2　三维实体的单元划分模型

（2）对各种物理问题的适用性。由于用单元内近似函数分片地表示全求解域的未知场函数，并未限制场函数所满足的方程形式，也未限制各个单元所对应的方程必须有相同的形式，因此它不仅适用于各种物理问题，例如线弹性问题、弹塑性问题、黏弹性问题、动力问题、屈曲问题、流体力学问题、热传导问题、声学问题、电磁场问题等，还适用于各种物理现象相互耦合的问题。图1-3所示为一个热应力问题应用。

图1-3　热应力问题应用

（3）建立于严格理论基础上的可靠性。因为用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上已证明是微分方程和边界条件的等效积分形式，所以只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的数值算法是稳定可靠的，则随着单元数目的增加（即单元尺寸的缩小）或者单元自由度数的增加（即插值函数阶次的提高），有限元解的近似程度会不断地被提高。如果单元是满足收敛准则的，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解。

（4）适合计算机实现的高效性。由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，最后使求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，因此它特别适合计算机的编程和求解。随着计算机硬件技术的高速发展及新的数值算法的不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。