2.7 向量夹角：反余弦

根据，可以得到非零向量a和b夹角的余弦值为

通过反余弦，可以得到向量a和b夹角为

其中：arccos（）为反余弦函数，即从余弦值获得弧度。需要时，可以进一步将弧度转化为角度。再次强调，这里的θ代表向量a和b之间的“相对角度”；而a和e₁、b和e₁的夹角可以视为“绝对夹角”。

极坐标

下面，我们将向量放在极坐标中解释向量夹角余弦值。给定向量a和b坐标为

向量a和b在极坐标中各自的角度为θ_a和θ_b，角度θ_a和θ_b的正弦和余弦可以通过下式计算得到，即

其中：θ_a和θ_b就相当于绝对角度，如图2.19所示。

根据角的余弦和差恒等式，cosθ可以由θ_a和θ_b正、余弦构造，有

将式（2.67）代入式（2.68）得到

相信大家已经在式（2.69）分子中看到了向量内积。

单位向量

本章前文介绍过某一向量方向上的单位向量这个概念，单位向量为我们提供了观察向量夹角余弦值的另外一个视角。

给定两个非0向量a和b，首先计算它们各自方向上的单位向量，有

两个单位向量的内积就是夹角的余弦值，即

正交单位向量

本章前文介绍的平面直角坐标系中e₁和e₂分别代表沿着横轴和纵轴的单位向量。它们相互正交，也就是向量内积为0，即

在一个平面上，单位向量e₁、e₂相互垂直，它们“张起”的方方正正的网格，就是标准直角坐标系，具体如图2.20（a）所示。

而平面上，成对正交单位向量有无数组，比如图2.21所示平面中的两组正交单位向量，有

v₁、v₂构造如图2.20（b）所示的直角坐标系。类似地，w₁、w₂也可以构造如图2.20（c）所示的直角坐标系。也就是一个平面上可以存在无数个直角坐标系。

比较图2.20的三幅子图，同一个向量a在三个直角坐标系中有不同的坐标值。向量a在图2.20（a）所示直角坐标系的坐标值很容易确定为（2, 2）。目前我们还没有掌握足够的数学工具来计算向量a在图2.20（b）和图2.20（c）两个直角坐标系中的坐标值。这个问题要留到本书第7章来解决。