2.2.2　逻辑与

考虑两个命题P和Q，则二者的逻辑与关系可表示为P∧Q。当命题P、Q均为真时，P∧Q为真，其他情况下P∧Q为假。为将上述真值关系转换成数学模型，需仿照上文做法，引入3个0-1变量x1、x2和y，分别表示命题P、Q和P∧Q的真值，即0-1变量取值为1表示命题为真，取值为0表示命题为假。

若要使得数学模型和逻辑与运算等价，只需要使得x1、x2和y的取值与P、Q和P∧Q的真值一一对应相等即可，即：若x1=1，x2=1，则y=1，其他情况下均有y=0。上述一一对应关系可以通过下面的约束实现。

下面使用Python分别调用COPT和Gurobi来验证上述结论。由于COPT和Gurobi的实现方法基本一致，因此本章仅针对逻辑与的情形展示调用这两个求解器的完整代码，其余逻辑运算均仅展示COPT的完整代码，Gurobi的完整代码见本书配套电子资源。

Python调用COPT验证逻辑与运算建模的完整代码如下。

Python调用Gurobi验证逻辑与运算建模的完整代码如下。

在上述代码中，我们首先设置x1=1，x2=1，运行代码，结果显示y=1。更改x1和x2的值，y的取值会发生相应的变化，即当x1=1，x2=0或x1=0，x2=1或x1=0，x2=0时，y的值均为0。

为了方便用户建模，COPT和Gurobi都提供了内置的逻辑与约束的添加方法，这些方法为用户提供了极大的便利。COPT和Gurobi中对应的函数接口均为addGenConstrAnd（y，［x1，x2］，name=""）。若要使用该函数添加逻辑与约束y=（x1∧x2），相应的代码如下。

经过验证，直接使用函数addGenConstrAnd进行建模的结果与使用式（2.1）～式（2.4）建模的结果完全相同。

进一步地，考虑N个命题的逻辑与运算。引入N个0-1变量xi（∀i=1，…，N），表示对应命题的真值。引入0-1变量y，表示N个命题的逻辑与运算的真值，即y=（x1∧x2∧…∧xN）。y的真值取值情况可用以下约束等价描述。