1.9.1 改进主轴的设计及主轴强度、刚度的计算

1.改进主轴的结构设计

内圆磨床，为了加工不同长度的内孔，其内圆磨具都要配备不同长度的接长杆。接长杆与主轴的连接，一般均采用锥面连接。可分为内锥面与外锥面两种。这里采用的是内锥面连接：在主轴前端设有莫氏3号或莫氏2号锥孔。这种设计有如下的不足之处：

1）主轴由于有了锥孔，从而使前轴承处的壁厚很薄，因而降低了主轴的刚度和强度。但是，如果想增大主轴的轴颈也不可能。因为主轴的转速很高，轴承的尺寸受转速的限制，不能加大，所以也就限制了主轴轴颈的尺寸。

2）同理，接长杆的直径也不能取得过大，否则主轴的强度不能保证。所以接长杆的刚度往往不足。

3）接长杆的锥柄与主轴锥孔的接触面积一般在70%以下，所以又降低了接长杆的刚度和运转精度。

4）当主轴由于高速运转而产生较大的温升后，主轴与接长杆之间会产生一定的温差，从而降低了锥面的接触面积，进而再次降低了接长杆的刚度和运转精度。

针对上述问题，改进主轴的结构设计，就应该取消接长杆，设计带杆的主轴。由于专用磨床只加工两种规格的锥孔，而内圆磨具又有大小两件，正好可分别加工两种工件。

改进后的主轴设计如图1-7所示。比较图1-6和图1-7可知，改进前后的唯一区别就是改进后主轴与接长杆成为一体。

所以，设计时的主要工作就是确定杆部的合理直径。这里主要要考虑两个因素：既要加大直径以便提高刚度；又要照顾到砂轮的使用寿命，使直径不要过大。因为内孔磨削和外圆磨削不同，砂轮的直径受工件孔径的限制，只能在很窄的范围内选择。已知：大号磨具的砂轮外径为ϕ38mm，小号磨具的砂轮外径为ϕ26mm。初步确定的杆部直径分别为ϕ28mm和ϕ22mm。

2.磨削力的计算

为了校核主轴外伸杆部的直径是否合理，应进行磨削力的计算。进行磨削加工切削力的计算，在生产过程中是比较少见的。因为与其他加工相比，磨削力是很小的。但是在磨具设计中，这又是必要的，它可以为设计提供初始数据。

内孔磨削的切削力，与一般金属切削一样由三个分力组成，如图1-8所示。其中F_z是主切削力，是磨削过程中的主要负载，消耗动力最大。工件的材料为40Cr，淬火后热处理达到T235，属中等硬度。磨削时的主切削力F_z按下式计算

式中 F_z——磨削时的主切削力（N）；

v_g——工件转动的线速度（m/min），根据工件的孔径确定，工件为50号7:24锥孔时，平均直径ϕ56mm，取v_g＝22m/min，工件为40号7:24锥孔时，平均直径ϕ36mm，取v_g＝18m/min；

v_l——砂轮转动的线速度（m/s），按下式计算，式中D为砂轮直径，大号磨具D＝38mm，小号磨具D＝26mm。n为砂轮转速，大号磨具n＝10000r/min，小号磨具n＝12500r/min。分别计算如下：大号磨具v_l＝＝19.89m/s，小号磨具；

t——横向进给量（工作台一次往复行程）（mm），大号磨具t＝0.01mm，小号磨具t＝0.0075mm；

S——纵向进给量（mm），S＝（0.5～0.8）B，B为砂轮宽度，取S＝0.5B，大号磨具S＝0.5×25mm＝12.5mm，小号磨具S＝0.5×20mm＝10mm。

将各值分别代入公式：

大号磨具粗磨时的主切削力

小号磨具粗磨时的主切削力

由图1-8可知，在磨削时也存在横向进刀切削力F_y。F_y与砂轮的轴线处于同一水平面内，与横进刀的方向一致，与F_z垂直。磨削加工，砂轮的每一粒砂粒都相当一个刀齿，而砂粒与切削面构成的角度基本都是负前角。所以F_y值必然大于F_z，一般F_y＝（1.5～2.2）F_z。取其平均值，即F_y＝1.85F_z，则得到下列数据：

大号磨具粗磨时，F_y＝1.85×90.02N＝166.54N。

小号磨具粗磨时，F_y＝1.85×65.69N＝121.53N。

3.磨具主轴强度校核

主切削力F_z使磨具主轴承受扭矩，横进刀切削力F_y则使主轴承受弯矩。按此校核图1-7主轴外伸轴颈d₂的强度。其危险截面在d₂与d₃的交接处。承受弯扭合成负荷的轴，其轴径计算公式如下

式中 d——轴的直径（mm）；

M——轴在计算截面所承受的弯矩（N·m），大号磨具＝28.73N·m，小号磨具N·mm＝16.41N·m；

ψ——校正系数，轴单向旋转，负荷按脉动循环变化时ψ＝0.6；

T——轴在计算截面所承受的扭矩（N·m），大号磨具＝1.71N·m，小号磨具0.85N·m；

［σ］——材料的许用弯曲应力（MPa），磨具主轴材料为40Cr，［σ］＝70MPa。

分别代入公式求得：

大号磨具主轴d₂处的最小轴径

小号磨具主轴d₂处的最小轴径

在图1-7中初步确定大号磨具d₂＝ϕ28mm，小号磨具d₂＝ϕ22mm。对照计算数据，初定的轴径尺寸强度是足够的。

4.磨具主轴刚度校核

为了保证良好的加工性能，对金属切削机床主轴的刚度往往会提出严格的要求。即在静刚度试验中，检测在静载荷的作用下主轴的挠度或偏转角。

金属切削机床主轴的允许挠度一般为

［Y_max］＝0.0002l（l为跨距）

所以，在设计时还要校核主轴的弯曲刚度。但是，校核内圆磨具主轴的弯曲刚度可不是一项简单的工作，这里有两个难点：①此主轴的前后轴承，均为两个并列的角接触球轴承，于是，同一个轴上有四个轴承来支承，其支反力不能用静力平衡条件来确定，所以主轴成了“静不定梁”，不能按简支梁来计算刚度；②主轴为阶梯轴，在全长上有数个台阶，所以刚度计算要比等直径轴复杂得多。

首先解决静不定梁的问题。有一份资料[1]，其中有一节专门论述“在一个支点上安装两个同型号的向心推力轴承的计算”。这恰好就是我们要解决的问题，我们且按此计算。

计算步骤如下：

1）计算之值。

式中 A——磨削时主轴承受的轴向载荷，磨削加工横向进给量很小，故A值很小；

F_r——磨削时主轴承受的径向力，设；

α——轴承的接触角（°），所用的轴承α＝15°。

代入公式

2）根据以上计算值由图1-9查得的数值。＝0.138。式中b为两个轴承载荷作用中心e和f之间的距离（见图1-10和1-11），b₁为轴承支座中心到径向载荷F_r之间的距离。由式

得

b₁＝0.138b

由图1-10可知，大号磨具b＝33mm，则得

b₁＝0.138×33mm＝4.55mm

由图1-11可知，小号磨具b＝32mm，则得

b₁＝0.138×32mm＝4.42mm

轴承支座中心在两轴承距离的等分截面上，由轴承的安装图可以确定。所以当b₁尺寸确定后，两轴承的径向载荷F_r的位置就确定了。而且，径向载荷的位置就是轴承支点的位置，并且，轴承支点由两点简化成了一点。

阶梯轴的挠度计算有多种方法，如图解法、能量法、当量直径法等。这里采用的是能量法。用能量法计算阶梯轴的挠度或偏转角，可按如下步骤进行：

1）绘出轴的外形简图，标出各台阶的尺寸。

2）绘出受力图，注明轴承受的外力和约束反力，以及各力之间的距离。

3）绘出弯矩图M。

4）绘出分段图，以每个阶梯为一段，标出各段的长度。

5）在需求挠度（或转角）处，施加一个单位的载荷F_i（如1N），但需与轴的变形方向一致，并绘出由F_i引起的弯矩图M′。

6）按下式计算截面的挠度

式中 Y（θ）——轴的挠度（mm）或偏转角（rad）；

M——轴所受弯矩（N·mm）；

M′——单位载荷引起的弯矩（N·mm）；

E——材料的弹性模量（MPa），材料为40Cr，E＝206×103MPa；

I——各轴段截面的惯性矩（mm4），；

l——各轴段的长度（mm）。

首先按上述步骤，计算大号磨具主轴外伸轴颈的挠度。

根据图1-6、图1-7绘出主轴的结构简图如图1-12a所示。在图1-7中，d₃轴颈为M33×1.5螺纹轴，其小径与d₂接近，为简化计算，将其简化到d₂的长度中。

在受力图中（见图1-12b）两支座的距离（272.10）是根据图1-10中F_r的位置确定的。支反力的计算如下：

由∑M_C＝0得

由∑M_B＝0得

按前述挠度的计算公式，对照图1-12中的数据，分段计算各段的挠度，计算外伸轴端D点的挠度见表1-2。

用同样的方法，计算小号磨具主轴外伸轴颈的挠度。计算图如图1-13所示。

在受力图1-13b中，两支点的距离273.8mm是根据图1-11中F_r的位置确定的。支反力的计算如下：

由∑M_C＝0得

由∑M_B＝0得

小号磨具主轴外伸轴端D点的挠度计算见表1-3。

前文已经介绍，金属切削机床主轴的允许挠度一般为［Y_max］＝0.0002l（跨距）。大号磨具l＝272.2mm，小号磨具l＝273.8mm，分别代入公式：

大磨具

［Y_max］＝0.0002×272.2mm＝0.05mm

小磨具

［Y_max］＝0.0002×273.8mm＝0.05mm

在粗磨时，大磨具与小磨具主轴外伸端的挠度计算值均为0.1mm，为允许值的两倍。

如何解决这个问题？根据前述挠度计算公式：，挠度与l成正比，与E、I成反比。l为每个轴段的长度，所以为了减小挠度应减小各轴段的长度。由计算表可知，第2轴段产生的挠度最大，占总挠度的60%以上，故应减小其长度。但是因工件的加工长度较大，而且加工时切削液的输送管还要占用一定的空间，所以l₂的长度不宜再减小。式中E为材料的弹性模量，各种钢材的弹性模量相差不大，所以不能以更换材料来提高E值。式中I为截面惯性矩，，所以增大轴径可以大幅度提高轴的刚度，设计中多用这个方法来提高零件刚度。但是在这里，轴径d₂受砂轮直径的限制，没有多少增大的余地。

总之，主轴的刚度不足，而且难以解决。但是，这是粗磨时的问题，因为计算时作为依据的切削用量是粗磨的参数，也就是说粗磨时磨具主轴安装砂轮的外伸杆部，有可能产生0.1mm的挠度，其斜率约为。此斜率作用到20mm宽的砂轮上为0.01mm。即磨削开始时，砂轮外圆的母线只有后端与工件接触，而前端则有0.01mm的间隙。当砂轮的后端磨损0.01mm后，砂轮外圆的母线在全长上与工件接触。这种情况在内圆磨削中是常见的。

在精磨时，切削用量与粗磨时有很大的区别。无论是工件的运转速度，还是纵向进给量和横向进给量，都远小于粗磨时的参数，往往是其1/3～1/2。所以精磨时的切削力也远小于粗磨时的切削力，精磨时主轴的挠度也就符合了允许值［Y_max］的要求。