1.5 常用数学公式

1.5.1 欧拉公式

三角函数的推导过程比较复杂，使用欧拉公式可以简化推导过程。首先给出自然常数e的表达式

基于自然常数e，给出欧拉公式的表达式

式中，j=。

1.5.2 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是重要的数学变换，将函数x(t)由时域变换到拉氏域的方法是

式中，ℒ是拉普拉斯变换运算符。

如果系统输入的时域函数为f(t)，输出的时域函数为x(t)，那么系统传递函数G(s)的表达式为

传递函数的定义是，零初始条件下线性系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。

1.5.3 狄利克雷条件

狄利克雷（Dirichlet）条件是傅里叶变换的基础，任意函数x(t)只有满足了狄利克雷条件才能进行傅里叶变换。狄利克雷条件的具体内容是：

1) 在任意周期内，x(t)必须绝对可积。

2) 在任意有限区间内，x(t)只能存在有限个第一类间断点。

3) 在任意有限区间内，x(t)只能存在有限个极大值或极小值。

1.5.4 傅里叶变换

傅里叶变换是将函数由时域变换到频域的重要工具，图1-19所示为时频关系。

函数x(t)的傅里叶变换X(ω)为

式中，ℱ是傅里叶变换运算符；x（t）和X（ω）是傅里叶变换对。

由频域转为时域的傅里叶逆变换为

傅氏域的自变量ω是实数，拉氏域的自变量s是复数。当s=jω时，拉普拉斯变换就退化为傅里叶变换，所以傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。

1.5.5 傅里叶级数

傅里叶级数的含义是，如果函数f(t)为周期函数

式中，T是函数f(t)的周期。

那么可以将周期函数f(t)表示成正弦函数和余弦函数的无穷级数形式，即

其中，a0、an和bn的表达式分别为

1.5.6 dB计算方法

对于单位相同的两个参数，dB是量度其幅值比例的计量单位。dB的计算方法有两种，当变量为功率时

式中，P0是基准功率；γ是功率P相对P0放大的程度，单位为dB。

当变量F为幅值时，dB的计算方法是

式中，F0是基准幅值。

1.5.7 函数的卷积

如果函数f(x)和g(x)是实数域上的两个可积函数，那么函数f(x)和g(x)的卷积h(x)可以定义为

用*表示卷积计算，则式（1-66）可以表示为

函数f(x)和g(x)及其卷积h(x)的关系如图1-20所示，可以将函数f(x)和g(x)的卷积h(x)视为一种推广的滑动平均。

1.5.8 零点和极点

在进行信号处理时，系统的传递函数G(s)可以写为多项式的形式

式中，qi是传递函数G(s)的零点；pi是传递函数G(s)的极点。

系统传递函数零点和极点的定义是：

1）当系统输入信号的幅值不为零且系统输出幅值为零时，输入信号对应的频率称为系统的零点。

2）当系统输入信号的幅值不为零且系统输出幅值为无穷大时，输入信号对应的频率为系统的极点。

1.5.9 帕塞瓦尔定理

如果复变函数p(t)和q(t)的乘积可积，且二者的傅里叶变换分别为P(ω)和Q(ω），那么帕塞瓦尔（Parseval）定理的内容可以表示为

式中，和分别是q(t)和Q(ω)的共轭。

当p(t)=q(t)时，帕塞瓦尔定理可以表示为

式（1-70）又称为Plancherel定理。