第二节　极限的概念

一、内容提要

1．数列的极限

（1）数列的定义

如果按照某一法则，对每个n∈N＋，对应着一个确定的实数x_n，这些实数x_n按照下标n从小到大排列得到的一个序列x ₁，x₂，x ₃，…，x_n，…就叫作数列

数列中的每一个数叫作数列的项，第n项x _n叫作数列的一般项．

（2）数列极限的定义

设｛x_n｝为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式｜x _n－a｜＜ε都成立，那么就称常数a是数列｛x_n｝的极限，或者称数列｛x_n｝收敛于a，记为

2．函数的极限

（1）自变量趋于有限值时函数的极限

设函数f（x）在点x₀的某一去心邻域内有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式0＜｜x－x ₀｜＜δ的一切x，总有｜f（x）－A｜＜ε，则称常数A为函数f（x）当x→x ₀时的极限．记作

设函数f（x）在点x₀的左邻域（或右邻域）内有定义，在x₀处可以没有定义．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式x ₀－δ＜x＜x ₀（或x ₀＜x＜x ₀＋δ）的一切x，总有｜f（x）－A｜＜ε，则称常数A为函数f（x）当x趋于x ₀时的左（或右）极限．记作

左极限和右极限统称为单侧极限．

（2）自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得对于满足不等式｜x｜＞X的一切x，总有｜f（x）－A｜＜ε，则称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限．记作

设函数f（x）当x＞X（x＜－X）时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得对于满足不等式x＞X（x＜－X）的一切x，总有｜f（x）－A｜＜ε，则称常数A为函数f（x）当x→＋∞（x→－∞）时的极限．记作f（x）＝A））．

二、基本要求

掌握数列极限和函数极限的定义和性质，重点掌握左、右极限的定义及用左、右极限求函数的极限．

三、疑难解析

证　分三种情况讨论．

（1）当a＝1时，命题显然成立．

四、典型范例

题型1　用极限定义证明极限

证　对任意ε＞0，考察，因为x在5附近变

化，不妨令｜x－5｜＜1，即4＜x＜6，于是

即｜x－5｜＜90ε，取δ＝min｛90ε，1｝，则当0＜｜x－5｜＜δ时，恒有｜f（x）－A｜＜ε故

题型2　用左、右极限讨论函数的极限

解　左、右极限法．因为

五、习题选解

1．观察如下数列｛x_n｝一般项x _n的变化趋势，写出它们的极限．

解　（1）0；（2）0；

（3）2；（4）发散．

2．根据数列极限的定义证明：

3．设数列

证　因为数列有界，所以存在M＞0，使得｜x_n｜≤M．

又，则对任意ε＞0，存在N，当n＞N时，

所以对上述ε＞0和N，当n＞N时，

4．根据函数极限的定义证明：