第一节 NURBS曲线
NURBS是非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Splines）的缩写，国际标准化组织（International Organization for Standardization，ISO）于1991年正式颁布了关于工业产品几何定义的STEP（Standard for The Exchange of Product Model Data）国际标准，把NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。NURBS可用于描述三维几何图形。它是一种非常优秀的建模方式，许多三维软件都支持这种建模方式。NURBS能够比传统的网格建模方式更好地控制物体表面的曲率，从而创建出更加光顺的曲面，如图2-1所示。
图2-1 NURBS曲面
简单来说，NURBS是专门用来定义曲面物件的一种描述手段。NURBS做出的造型由曲线和曲面来定义。就是因为这一特点，可以用它做出各种复杂的曲面造型。
符合NURBS原理的曲线，在建模的过程中有3个值得注意的基本属性，即阶数、控制点、均匀性。
什么是阶数呢？
前面介绍了不少建模软件的造型描述逻辑，即先确定一个空间直角坐标系，然后通过参数来确定点，继而去定义线，最终到面、到体。那么Rhino又是如何通过多个点去描述一条线的呢？
这便是控制点与其所描述的曲线之间的函数关系，也就是B样条曲线的定义。
当然，作为一本非图形学专业类的书籍，上述函数并不能向大多数人说清楚控制点跟曲线之间的对应关系。下面用一个简化过的，近似的描述方式简述一下两者的关系，如图2-2所示。
图2-2 控制点和曲线的函数关系
可以用这样描述曲线的方式类比Rhino描述曲线的方式（注意，两者只是类比，并不等价）。
以此为基础，NURBS曲线的描述方式也可以类比为
y=axn+bxn-1+…+px+q （a≠0）
式中，n即是曲线的阶数。也就是说，阶数是描述一根曲线的函数方程的最高次项的幂。
当然，有些曲线过于复杂，有时很难用一段函数方程来描述。这个时候，就要用一组函数方程来描述。多个函数方程接力，去描述一根复杂的曲线，函数与函数之间的连接点就称为节点，如图2-3所示。以绳子做比喻的话，节点就是多段绳子连接成一根较长绳子时的打结处。
图2-3 节点的诞生
控制点和阶数相当于一根线的姓名。在后续的章节里，会以x阶x点来称呼某根曲线，比如3阶8点、5阶6点。它们的关系，满足如下表达式
由式（2-1）可以得出，节点的数目必然是自然数，也必然大于等于0（即k≥0）。对上述表达式进行变换，得到
由式（2-2）可知，控制点始终比阶数至少大1。
因为节点是函数与函数相连接处的点，那么当k=0时，节点不存在，此时曲线由一个独立的函数描述，即最简曲线。