2.1　平面应力问题与平面应变问题

2.1.1　平面应力问题

设有很薄的等厚度薄板（设薄板的厚度为δ，δ≤a，δ≤b），平面应力问题如图2-1所示，只在板边上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。实际工程问题中，如工字梁腹板的受力分析如图2-2所示。

图2-1　平面应力问题

图2-2　工字梁腹板

以薄板的中面为xOy面，以垂直于中面的任意直线为z轴。因为板面上不受力，所以有

因为板很薄，且外力又不沿厚度变化，所以，平行于xOy面的任意截面，平面外应力分量为

σz（x，y）=0，τzx（x，y）=0，τzy（x，y）=0

只剩下平行于xOy面的3个应力分量σx（x，y），σy（x，y），τxy（x，y）=τyx（x，y），它们仅是x和y的函数，这种问题称为平面应力问题。

2.1.2　平面应变问题

设有很长（近似无限长）的柱形体，它的横截面不沿长度方向变化，平面应变问题如图2-3所示。面力或约束平行于横截面且不沿长度变化，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化。实际工程问题中，直线段隧道的受力分析就可以简化为平面应变问题进行处理，直线段隧道如图2-4所示。

图2-3　平面应变问题

图2-4　直线段隧道

任意平行于xOy面的横截面，利用对称性质，平面外位移w（x，y）=0，平面内u（x，y）≠0和v（x，y）≠0，可以得出εz（x，y）=0，γzx（x，y）=0和γzy（x，y）=0。因为这种问题所有各点的位移都平行xOy面，所以应当称为平面位移问题。考虑到只剩下平面内应变εx，εy和γxy，习惯上称为平面应变问题。