2．4　弹性波的基本理论

2．4．1　冲击弹性波

工程检测领域中的常用媒介很多，例如超声波、放射线（如X光、伽马射线、中子等）、电磁波（如电磁雷达等）、冲击弹性波等。其中冲击弹性波用锤或电磁激振装置冲击产生，具有激振能量大、操作简单、便于频谱分析等特点，且能够直接反映材料的力学特性，是一种非常适合工程无损检测的媒介。

2．4．1．1　弹性波的分类

根据弹性波波动的传播方向与粒子的振动方向的关系，可以将其分类如下。

（1）P波（纵波或疏密波）。当对无限均匀的弹性介质进行正弦作用的拉—压时，就会产生交替变化的压缩和拉伸变形，质点也就产生疏密相间的纵向波动。已振的质点又推动相邻的质点，在无限均匀的弹性介质中继续向前传播。这时，介质中质点振动方向与波的传播方向一致，这种波称为纵波（图2－12），也称压缩波或疏密波，表示为P波。其在介质中传播时，仅使介质各点改变体积而无转动。

任何弹性介质在体积发生变化时，会产生弹性力。因此，P波可以在任何弹性介质（气体、液体、固体）中传播。同时，由于质点发生振动的振动方向和传播方向一致，也导致其在各种弹性波中波速最快，所以其应用十分广泛。

（2）S波（横波或剪切波）。由于固体介质具有体积刚度和剪切刚度。因此，当对固体介质进行剪切应力作用时，将会产生相应的剪切变形，介质质点就会产生具有波峰和波谷的横向振动，并在介质中传播。这时，波的传播方向与介质质点的振动方向相垂直。这种波称为横波（图2－13），又称剪切波，以符号“S”表示。其在介质中传播时，使介质各部分产生变形而体积不变。

由于液体、气体的剪切刚性很小，几乎趋近于零，因此其不存在S波。因而，在固体中传播的S波遇到液体、气体时几乎发生完全反射，所以S波也有较多的应用。

P波和S波可在物体内部和深处传播，存在于物体内部，因此又称为体波。

（3）瑞利波。当对固体半无限弹性介质进行表面扰动作用时，介质表面的质点就产生相应纵向振动和横向振动。其结果将导致质点的合成振动（纵向振动和横向振动），即绕其平衡位置作椭圆轨迹的振动，并作用于相邻的质点而在介质表面传播，这种波称为表面波（图2－14）。

表面波，主要成分是指瑞利波（也称为瑞雷波），以符号“R”表示。图2－14表示的是各质点的振动方向及表面波的传播方向。同时，也显示了瑞利波的振幅随着深度的增加而迅速减小。

由于在表面振动的瑞利波，衰减较小，容易测试，且其传播深度大致相当于其波长，从而在工程检测中也得到了广泛应用。瑞利波的特性见图2－15。

根据激振方式不同，可以将瑞利波分为稳态瑞利波和瞬态瑞利波（见图2－16）。通常，采用激振器激振的稳态瑞利波，其波长容易控制，但装置较为复杂和笨重。利用锤击等方式激振产生的瞬态表面波，操作方便但波长不易控制，需要通过较为复杂的数学手段分析。

（4）板波（Lame波）。在无限长宽的弹性板状介质受到表面扰动作用时，介质质点也将产生相应的纵向和横向振动。两种振动的合成，使质点作椭圆轨迹的振动并传播的波称为板波，以符号“L”表示。

板波［图2－17（c）］在板状介质中传播的弹性波，与表面波［图2－17（d）］不同，即波长大于板的厚度。因此其在传播时，要受到两个界面的束缚，从而形成对称型（S型）和非对称型（A型）两种情况。在传播中的S型板波，中心面上质点的振动方式类似于纵波。在传播中的A型板波，上下表面质点振动的相位相同，板的中心面上质点振动方式类似于横波。此外，板波具有频散特性，即板波相速度随着频率的变化而变化。因此，板波主要用于探测薄板材料的分层、裂纹等缺陷。

（5）其他波。除以上叙述的波型外，还有弯曲波、爬波、乐夫波、楔波等几种类型。其中，当声波在棒或板中传播时，使棒或板作弯曲运动的弹性波称为弯曲波，可用于丝、板材料的探伤。

弹性波主要成分的特点见表2－1。

2．4．1．2　弹性波的基本方程

（1）一维状态。测试对象的一维状态指对象物体的长度L＞5D（直径），且激发的弹性波波长λ＞2D。取一维杆的轴线作为x轴（图2－18），设其为等截面，截面面积为A，弹性模量为E，密度为ρ，且材质均匀连续。在任意截面x处的微单元dx受纵向外力P扰动而发生自由振动，振动位移表示为u（x，t）。

该微元dx在x处，受扰动后产生的纵向张力以p（x）表示，则：

于是式（2－53）可写为：

而x＋dx截面处的总张力为：

据牛顿定律，不平衡力产生物体的加速度，即：

整理后，有：

令：C＝整理后可得一维杆件的质点纵向振动微分方程：

可知C是弹性波沿一维杆件轴向传播速度：

波动方程式（2－58）的通解为：

亦即以x－Ct和x＋Ct为参数的任意函数均可满足上式，它表明初始的扰动将保持其原始波形，并以C的速度传播。x－Ct表示沿x的正方向传播，x＋Ct则相反。

（2）三维状态

通常在三维体中的弹性波的基本方程可以根据弹性体的运动方程导出［1－3］：

式中　2——直角坐标系的拉普拉斯算子，其定义如下：

和泊松比；

——体积膨胀率。

坐标和位移的定义见图2－19。

上述弹性波基本方程，可以得到两种解。其一为3维膨胀的波（非旋转波）；另一则为纯旋转波（等体积的波）。

将式（2－61）中的三个方程的左右两端分别对x，y，z微分后相加，即可得到关于膨胀波的波动方程式：

可以看出，VP＝，即为体积膨胀在3维弹性体中的传播速度，也就是P波的波速。

同样，将式（2－61b）对y微分，式（2－61c）对z微分后求差，并消去后，可得：

令即为绕x轴的旋转，可得该旋转在3维弹性体中的传播速度，也就是S波的波速：可以看出，绕y轴、z轴旋转的波速均为

2．4．1．3　弹性波的产生、传播和衰减

冲击弹性波的产生一般通过外力击打产生和物体内部破损产生。

（1）打击产生冲击弹性波。

通常，最普通的激振方式是冲击锤或电磁锤打击（图2－20）及钢球落下等激振方式。

利用不同打击锤进行激振，可以产生不同频率特性的冲击弹性波。一般来讲，小直径的硬质锤可产生高频率的弹性波。相反，大直径的硬质锤可产生低频率的弹性波，其本质是锤和被测对象的接触时间有明显的关系。钢球打击时，混凝土和钢球的接触时间tc，（单位：s）可以表示为［4］：

下标1——打击球体（不锈钢材料E1：196GPa，μ1：0．3）；

下标2——对象材料；

m1——激振球体的质量，kg；

R1——激振球体的半径，m；

v0——激振球体与半无限体材料碰撞时的速度，m/s；

H——激振球体的下落高度，m。

冲击信号的频率特性见图2－21。

因此，引起的自由振动频率和激振信号的关系如下：

通过式（2－66）可以看出，落下高度H的影响量级为H0．1，通常在高度0．2～1m的范围进行打击，对接接触时间的影响仅有15%。

典型条件下激振弹性波的参考频率见表2－2。不同激振锤在不同强度等级混凝土，在0．6m落下时，引起的弹性波的频率。

为了简化起见，取0．6m落下，C30混凝土，则接触时间tc可近似为：

（2）损伤以及冲击弹性波的发生（AE）。AE（Acoustic　Emission）的意思是声的发射，是固体变形或破坏时产生的声音作为弹性波发出的现象。该弹性波可由声发射传感器检测，作为无损检测的方法称为声发射法。一般情况下，声发射的频率很高（大多在数百kHz以上），大大超过了人耳所能听到的范围（20Hz～20kHz），衰减快（传播距离一般不超过数米），需要用高频率、高灵敏度的传感器才可以检出（图2－22）。

2．4．1．4　弹性波的传播速度

弹性波中包含多种成分波，其传播速度也各有不同。

（1）P波。弹性波的各种波中，速度最快的是纵波，因此叫Primary　wave，简称P波。然而，P波的波速不确定，与传播物体的尺寸、形状以及P波波长有关。当物体的3维尺寸大于P波波长时，P波的传播速度可由式（2－68）表示：

而当传播物体为桩、立柱等细长物体而P波波长较长时，其P波波速为1维速度：

当传播物体为平板，而P波波长较长的场合，P波速度为2维速度：

容易得出VP1＜VP2＜VP3的关系。若泊松比取为0．20，则有：

如前所述，P波的传播速度不仅与传播物体的尺寸、形状有关，还取决于P波的波长。在混凝土等固体结构中，通常波长越短的P波，其传播速度越快。由于超声波发信子产生的P波波长比用锤打击产生的冲击波的波长要短很多。因此，在混凝土结构中，冲击弹性波的P波速度比超声波的P波速度要慢。

此外，当含有不同波长的成分的P波中，其波速又不相同时（称为“频散”），不同速度的波合成后会产生一个“群速度”，鉴于篇幅所限，其分析方法不做详述，感兴趣的读者可以参考相关书籍。

（2）S波。与P波不同，S波的波速与传播物体的形状、大小以及波长等均没有关系：

式中　G——材料的剪切模量。

由于S波依存于材料的剪切刚性，而水或空气中不存在剪切刚性（G＝0）。因此，在水或空气中不存在S波。此外，根据P波和S波的速度，还可以推算材料的弹性模量E和动泊松比μ。在三维对象中，有：

（3）R波。R波的速度VR用式（2－74）表示：

也可近似为：

各成分波的速度和泊松比的关系见表2－3。

（4）Lame波。Lame波的速度，取决于材料的特性和波长以及厚度。其理论解非常复杂，图2－23表示了Lame波的非对称模型（屈曲型）传播速度～板厚度/板波波长的关系。

图2－23中板厚度/板波波长大于1时，Lame波的相位速度与瑞利波的速度相近。板厚度/板波波长＜0．5的场合，Lame波的位相速度急剧降低。

2．4．1．5　弹性波的衰减

从振源激发的弹性波，随传播而衰减。主要衰减如下：

（1）几何衰减（亦称扩散衰减）。当弹性波激发后，伴随传播距离的增加，前锋波面增大，单位面积的能量减小。体波（P波以及S波）的传播呈圆球状扩散，由于球面积是与半径（传播距离）的平方成正比，所以能量密度与传播距离的平方成反比；另外，R波（瑞利波）的传播呈圆柱状（圆柱的高度相当于1倍波长）扩散，其表面积与传播距离的一次成正比波，因此，其衰减要比体波慢得多。

所以，当弹性波在半无限结构物表面激发后，在沿物体表面传播过程中，其体波成分衰减得很快，一定距离后，主要成分被R波所占据。

（2）透过衰减。当弹性波在不同材料中传播时，有反射及重复反射产生，从而使得传播的能量逸散到材料中，导致能量减少。

（3）黏滞性衰减。当材料不是完全弹性体时，由于其黏滞性的存在也会引起能量的衰减。如果用振幅，可以用式（2－76）表示：

可以看出，弹性波的频率越高，其黏性衰减越大，而且与频率呈指数关系。还可得到：

即：

2．4．1．6　弹性波的反射特性

弹性波在不同材质媒介的结合部会引起反射，而这正是工程检测所需的。

（1）在两种媒介垂直入射的情况。为了便于分析，在此仅考虑一维反射的情况。

考虑激振后向下传播的弹性波粒子的位移：

u（x，t）＝f（x－Ct）

若令ξ＝x－Ct，则粒子的运动速度v（x，t）为：

同时，传播的弹性波引起的压力P（x，t）则可以表示为：

结合上述两式，考虑到C＝经整理后可得：

当弹性波信号穿过截面变化或者材质变化的媒介时，其反映在机械阻抗（一般用Z来表示材料的机械阻抗，Z＝ρcA，这里的A是断面截面积）的变化，在机械阻抗发生变化的界面上，处于传播状态的弹性波会产生波的反射和透过，见图2－24。

图2－24中，v1，v3是单元1的粒子运动速度，v2是单元2的粒子的运动速度，↑、↓表示上行和下行。在界面上，当弹性波产生后，其压力和粒子速度仍然保持连续，即：

若仅考虑一维情况（x方向），压力P可以用式（2－83）表示为：

考虑到P＝－ρCAv＝－Zv，再利用式（2－82），可得：

此外，若将反射波和透过波的大小与入射波的比值用振幅率来表示，有：

从以上可以看出，在媒介分界面上，弹性波的反射和透过具有以下性质：

1）当媒介的机械阻抗相同（Z1＝Z2）（包括材料不同）时，也不会产生波动。

2）当异种媒介的机械阻抗相差越大，反射率也越大。

3）当阻抗减少（Z1＞Z2）（裂缝或劣化处，以及柱的端部）时，反射波和入射波符号相同（相位相同）。例如，对于基桩检测而言，当先端是土层时，反射信号与激振信号同向，而先端是嵌岩时，其反射信号可能与入射信号反向。

典型材料的阻抗见表2－4。

（2）中间有不同夹层的情况。当媒介1中间夹有媒介2（如有裂缝的场合）时，媒介1（Z1＝ρ1v1A1）和媒介2（Z2＝ρ2v2A2）的两个交界处均会产生的透过和反射，夹入不同的媒介时弹性波的反射见图2－25。

同样，可以得到振幅反射率的绝对值R：

因此，在有不同媒介介入的场合下，有：

1）反射（通过）率与频率相关，通常频率越高，反射越明显。

2）在特定的频率下，反射波消失。

2．4．1．7　弹性波的折射、干涉和衍射

弹性波与声波、光波、电池波等一样，当几个波相遇时会出现干涉、叠加和其他情况。弹性波在传播过程中，还会遇到折射、叠加、干涉以及衍射等现象。

（1）折射。当弹性波以一个角度斜射入另一种媒介时，也会发生反射和透过。由于媒介1和媒介2的机械阻抗不同，反射和透过波的传播方向都会发生改变，其中的透过波就称为折射波，波的折射见图2－26。

其中，反射角与入射角i相同，而折射角j与入射角i的关系则为（Senll定律）：

当角度j为90°时，折射波沿界面传播。对于弹性波，当斜向入射时，反射波和折射波都会发生一定的变化。当P波入射时，反射和折射波包括P波及SV波。其波速与入射角的关系为：

当SV波斜向入射时，反射和折射波中也包含P波和SV波成分。此外，SH波斜向入射时，其反射和折射波中只有SH波。

（2）波的叠加与干涉。在同一介质中传播的几个波，如果同时达到某一质点，那么，对该质点振动的共同影响就是各个波在该点处所引起振动的合成。在任意时刻各质点的位移是各个声波在这一质点上引起位移的矢量和，这就是波的叠加原理。叠加之后，每一个波仍保持原有的特性（频率、波长、振动方向等），仍按原有的传播方向继续前进，好像在各自的传播途中没有遇到其他波一样。因此，波的传播是独立进行的。

当两个频率相同，振动方向相同、相位相同或相位差恒定的波动在介质某些点相遇后，会使一些点处的振动始终处于加强状态，而在另一些点处的振动始终减弱或完全抵消的状态，这种现象称为干涉现象，这两束波为相干波，它们的波源称为相干波源。

波动的重要特性是波的干涉现象，导致波场呈现较为复杂分布，也是波的干涉现象，尤其在离振源较近的近场区内，干涉会给检测带来很大困难。

（3）波的衍射和惠更斯原理。波的衍射是指当波在弹性介质中传播途中，如果遇到障碍物或其他不连续的情况时，会导致波阵面发生畸变情况。

障碍物的狭缝称为新的波源见图2－27，当一个任意形状的波，在传播过程中遇到不连续障碍AB。当AB上有一个宽度为a的空洞或狭缝时，且当a的大小与波长相当时，可看到穿过狭缝的波是以狭缝为中心的圆形波，与原来的波阵面无关。这说明空洞或狭缝可以看作新的波源。波前上的所有点，都可以看作产生球面子波的点源。经过一段时间后，该波前的新位置将是与这些子波波前相切的包络面。

出现这一现象的这一原理称为惠更斯原理，其不仅适用于机械波，而且适用于电磁波。它用几何方法广泛的解决了波的传播问题。按惠更斯原理从子波画出新的波源见图2－28。

2．4．2　弹性波的其他特性及类型

2．4．2．1　弹性波的频散特性

由锤击等产生的弹性波中，通常含有不同频谱的成分。在特定的条件下，不同频率的弹性波会按照不同的波速传播，被称为“波的频散”。

波的频散特性不仅取决于被测体的力学特性，而且与波长、被测体的形状以及边界条件等有密切的关系。因此，利用弹性波的传播特性检测被测体材质时，必须考虑激振频率的选择以及频谱补偿等。

在此，首先对频散性的基本概念和弹性波基本解进行讲述，然后讨论边界条件（如厚度变化和分层），最后对不同频率弹性波的频散性进行分析。

2．4．2．2　无频散的波

以1维弹性波的变化前后状态为例（见图2－29），进行简明讲解。

运动方程可以表示为：

式中　v——一维弹性波的传播速度。

式（2－92）中，沿正方向传播的波的各点的变形为：

同时，波长L为：

由此可见，波的相位k（x－vt）－φ是以波速v在前进，所以v也被称为“相位速度”或“相速度”。由于v＝与波长、频率等无关，所以为无频散波。

在半无限体中的P波、S波均为无频散波。

2．4．2．3　有频散波

在式（2－92）中，作用力仅与粒子间的相对变形（即变形差）有关。但在特定的场合下，作用力还与粒子的变形本身有关。也就是说，在式（2－92）中增加了与u（x，t）的相关项。若将比例系数表示为，则式（2－92）变为：

式（2－95）的解可由：

得到，进而可以求出波数与角频率的关系：

进一步，式（2－95）为线性方程，因此满足叠加原理，所以，其通解一般可表示为：

其中：

为各频率成分波的相位速度。可见，该相位速度与成分波的频率相关，也就是说，不同频率的成分波的相位速度可能并不相同，该现象即被称为“波的频散”。

通过观察波在传播过程中的形状变化，可以容易地区别波是否具有频散性。如果波在传播过程中，其形状不发生变化，表明其为非频散波。反之，为频散波。