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第一篇力学

第1章质点运动学

物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式规律的一门学科，这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其他微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式，其基本形式有平动和转动。在平动过程中，若物体内各点的位置没有相对变化，那么各点所移动的路径完全相同，可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动，从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。我们提到的质点是一个抽象（理想）模型，当在一个力学问题中物体的大小、形状可以忽略时，我们可以把物体当作一个只具有质量而忽略几何尺度的点来处理。在物理学的研究中，这种理想模型的建立是十分重要的。研究物体机械运动的规律时，就是从质点运动的规律入手，再研究刚体运动的规律，从而逐步深入的。本章的内容绝对不是高中物理内容的简单重复，它包含许多新的物理思想和数学方法，一定要重视。

1.1 重要概念

1.1.1 参考系、质点

1.参考系和坐标系

为描述物体的运动而选择的标准物（或物体组）称为参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。因此，在讲述物体的运动情况时，必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时，通常选地球作为参考系。

为了定量描述物体（质点）的运动，必须将参考系进行量化。量化后的参考系就称为坐标系。量化方式的不同就形成了不同的坐标系。力学中常用的坐标系有固定直角坐标系和自然坐标系。

2.质点

质点是一个理想化的力学模型。当物体的大小和形状忽略不计时，可以把物体当做只有质量而没有形状和大小的点，这就是质点。

1.1.2 位置矢量、位移矢量

1.位置矢量

r= xi+yj+zk

2.运动学方程（kinematics equation）

r=r （t）=x（t）i+y（t）j+z（t）k

分量表示

x=x （t）,y=y（t）,z=z（t）

3.轨道方程

消去参数t,y=y（x）

4.位移

Δr=r2−r1

分量表示

Δx=x 2−x1

Δy=y2−y1

Δz=z2−z1

1.1.3 速度、加速度、切向加速度、法向加速度

1.平均速度（average velocity）

2.瞬时速度（instantaneous velocity）

速度的分量

3.位移公式

4.平均加速度（average acceleration）

5.瞬时加速度（instantaneous acceleration）

加速度的分量

6.速度公式

7.法向加速度

8.切向加速度

质点速率增加时，aτ ＞0，即aτ沿速度v的方向。

1.1.4 几种典型的质点运动

1.直线运动（linear motion）

ρ→∞,an=0

匀速直线运动（uniform motion）

aτ= 0,v=常量

匀变速直线运动（uniformly accelrated rectilinear motion）

aτ≠ 0,a =τ 常数

变速直线运动（change speed linear motion）

aτ≠ 0,aτ≠常数

2.一般曲线运动（curvilinear motion）

3.匀速率圆周运动（uniform circular motion）

4.变速率圆周运动（variable-rate circle motion）

1.1.5 角量描述、线量与角量间关系

1.角位移、角速度和角加速度（angular displacement,angular velocity and angular acceleration）

角位移

平均角速度

角速度

平均角加速度

瞬时角加速度

匀变速圆周运动中，α=常数，若t=0时，ω=ω0,θ=θ0，由dω=αdt，有

由dθ=ωdt，有

2.线量与角量间的关系

角位移与路程的关系

Δ s=RΔθ（圆周角Δθ对应的弧长）

质点速率

质点的切向加速度

质点的法向加速度

1.2 基本规律

运动叠加原理：当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动是各个独立运动的叠加，这个结论称为运动叠加原理或运动的独立性原理。任意曲线运动都可以视为沿x,y, z轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）。

1.3 学习要求

（1）掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。

（2）掌握应用微分和积分求运动量或运动方程的方法；能借助直角坐标系计算质点在平面内运动的速度、加速度；能计算质点做圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度。

（3）理解伽利略相对性原理，理解伽利略坐标、速度变换瞬时速度和瞬时加速度。确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义。

（4）了解非惯性参考系及不同参考系中各物理量之间的关系等。

1.4 例题精解

例1-1 如图1-1所示，一炮弹发射后在其运行轨道的最高点h=19.6 m处炸裂成质量相等的两块，其中一块在爆炸后以 v=1000i+14.7j（SI）的速度运动；另一块在爆炸后落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离s1=1000 m。问另一块落地点与发射点的距离s2是多少（设空气阻力不计）？

图1-1 例1-1图

分析：考查斜抛运动。炮弹的运动分为三个过程，分别对其用质点运动学斜抛物体运动规律进行分析，运用质点的位移公式不用考虑具体运动的轨迹过程，直接列方程求解。

解：过程1：炮弹自发射至轨道最高点炸裂前的斜抛运动过程。

过程2：炮弹在最高点炸裂的过程。

过程3：两碎片炸裂后的运动过程。

考查作斜抛运动的碎片，设其初速的两个分量分别为vx0、vy0，开始抛出的时刻为t0=0。

x方向匀速直线运动

y方向上抛运动

落地时y=0，代入已知条件h=19.6 m和vx =1000 m · s-1、vy =14.7 m · s-1得

s2 =s1+vxt=（1000+1000 × 4）m=5000 m

例1-2 （1）对于做匀速圆周运动的质点，试用直角坐标和单位矢量i和j表示其位置矢量r，并由此导出速度v和加速度a的矢量表达式。

（2）试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心。

分析：（1）考查对质点位移公式、速度公式、加速度概念及公式的理解，质点的速度为位移对时间的一阶导数，加速度为位移对时间的二阶导数。位移矢量可以分解为两个相互垂直方向的分量，同样，速度矢量也可以分解为两个互相垂直方向的分量，加速度同理。（2）由推导出的加速度的表达式整理即可得到，方向与位置矢量的方向相反即可，因为r始终指向圆外径方向。

解：（1）由解图1-2可知

图1-2 例1-2图

式中，,θ=ωt，且根据题意ω是常数，所以有

v=v x i+v y j=−rωsin θi+rωcos θj

又因

所以

（2）

由上式可见，a与r方向相反，即a指向轨道圆周中心。

例1-3 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km·h-1的速度向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为180 km·h-1，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明。

分析：考查相对运动。相对运动的公式为：v绝对=v相对+v牵连，故飞机相对于地面的速度等于飞机相对于风的速度与风相对于地面速度的矢量和：。先建立起直角坐标系，再运用矢量图关系计算求解。

解：建立如图1-3所示的坐标系，由已知条件有

=180 km ·h− 1，方向未知

v机 -地大小未知，方向正北

由相对速度公式：，又矢量三角形为直角三角形，如图1-3所示，则飞机相对于地面的速率为

图1-3 例1-3图

驾驶员应取航向为北偏东

例1-4 如图1-4所示，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D，速率为v，一艘速率为u＜v的海上警卫快艇从一港口出发去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为；快艇截住这条船所需的时间为。

图1-4 例1-4图

分析：警卫快艇要拦截上目标船只必须满足各自的坐标分量相等。建立目标船只所在位置垂直对应海岸为原点的直角坐标系，那么目标船只在x方向做匀速直线运动，离岸的距离为D，警卫艇的起始位移条件为 x，那么只需要把警卫快艇运动速度方向沿x、y两个方向分解，成为两个垂直方向的匀速直线运动。最后利用x取最大值的条件求极值。

证明：在图1-4所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为

拦截条件为

所以

x取最大值的条件为

dx/dθ=0

由此得到cosθ=u/v，相应地。

因此x的最大值为

x取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为

例1-5 已知质点做直线运动，其速度为v=3t−t2（m·s−1），求质点在0～4s 时间内的路程。

分析：考查位移和路程的具体问题求解计算。本题求解时，不能直接局限于理解位移是速度对时间的积分，而直接对速度公式进行积分，求出位移值。具体的路程要看运动过程轨迹有没有反复，要是有反复应该分段求绝对值。

解：在求解本题中要注意：在0～4s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计算积分，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分。

令v=3t−t2=0，解得t=3s。

由此可知：t＜3s时，v＞0,;t=3s时，v=0；而t＞3s时，v＜0,。

因而质点在0～4s时间内的路程为

1.5 应用示例

1.5.1 走或跑的受力情况

走或跑时，人体受的外力包括空气阻力、作用于身体总质心的重力以及地面支撑脚的力（简称为支撑反力）。支撑反力是地面对人脚的总的作用，它是竖直方向上的压力与水平方向的静摩擦力的合力。许多人认为水平方向的静摩擦力就是使人前进的外力。其实，人的走动并不等同于一个物体的平移，人体的总质心还在不断地上、下运动，正压力也会起加速作用。因此，静摩擦力并不是全部的起加速作用的外力。全面地说，起加速作用的外力是地面作用于支撑脚的支撑反力。

为研究问题的方便，可以把支撑反力看成是体重反力与蹬地反力的合力。体重反力是指由于人体具有静态重量而产生的那一部分地面对脚的作用力，其大小总是等于体重，方向总是竖直向上，蹬地反力的大小取决于人以多大的力蹬地，方向则与人蹬地的方向相反。在脚刚落地至蹬地前的缓冲动作中，脚向前下方蹬地，蹬地反力斜向后（见图1-5（a）），因此支撑反力也斜向后，对人的前进起制动作用，使人体减速。而在蹬地动作中，脚向后下方蹬地，蹬地反力斜向前（见图1-5（b）），因此支撑反力也斜向前，对人体起加速作用。

1.5.2 神奇的劈和楔

人们把刀、斧等切割工具的刃部叫作劈，而一头厚一头薄的斜面木料叫做楔。劈能轻而易举地劈开坚硬的物体，楔可使物体间接触得更紧密。明朝年间，苏州的虎丘寺塔因年久失修，塔身倾斜，有倒塌的危险。当时，有人建议用大木柱将其撑住，可这样又大煞风景。不久，有一位木匠师傅把木楔一个一个地从塔身倾斜的一侧的砖缝里敲进去，结果扶正了塔身，试分析原因。

图1-5

图1-6

分析：因为楔的纵截面是一个三角形，使用它们的时候，在其背上加一个力F，这个力产生的效果，就是楔（劈）的两个侧面形成两个推压物体的力N，在力N的作用下，楔把物体楔紧。设它们的纵截面是一等腰三角形，楔宽为d，它们的侧面长度为l，如图1-6所示。

由相似三角形可得，所以。

若三角形的顶角为θ，则有，即。

综上可得

由此可知，当F一定时，θ越小，N就越大，因此，越薄的楔就越容易钉进物体里。显然，木匠正是利用了质点力学原理解决了生活中遇到的这一大难题。

1.5.3 GPS卫星导航系统

全球卫星定位系统（Global Positioning System,GPS）是一种结合卫星及通信发展的技术，利用导航卫星进行测时和测距。全球卫星定位系统（GPS）是美国从20世纪70 年代开始研制的，经过20余年的研究实验，耗资300亿美元，到1994年3月，全球覆盖率高达98%的24颗GPS卫星星座已布设完成，形成具有海陆空全方位实时三维导航与定位能力的新一代卫星导航与定位系统。经过近十年我国测绘等部门的使用表明，全球卫星定位系统以全天候、高精度、自动化、高效益等特点，成功地应用于大地测量、工程测量、航空摄影、运载工具导航和管制、地壳运动测量、工程变形测量、资源勘察、地球动力学等多种学科，取得了良好的经济效益和社会效益。

GPS的空间部分是由24颗GPS工作卫星组成的，这些GPS工作卫星共同组成了GPS卫星星座，其中21颗为可用于导航的卫星，3颗为活动的备用卫星。这24颗卫星分布在6个倾角为55°的轨道上绕地球运行。卫星的运行周期约为12恒星时。每颗GPS工作卫星都发出用于导航定位的信号。GPS用户正是利用这些信号来进行工作的。

由于全球定位系统能同时保证任何地点或近地空间的用户最低限度连续收看到4颗卫星，每颗卫星又都能连续不断地向用户接收机发射导航信号，所以用户到卫星的距离等于电磁波的传播速度乘以电磁波传播所用的时间。假如用户同时接收到4颗卫星信号，且4颗卫星发射信号时的精确位置和时间分别为：（x1,y1,z1,t1）,（x2,y2,z2,t2）,（x3,y3,z3,t3）, （x4,y4,z4,t4），电磁波的传播速度为u，用户此时所在的位置为（x,y,z,t），则有

解此方程组可求得（x,y,z,t）的值，即用户此时所在的位置。

如果连续不断地定位，则可求出三维速度（vx,vy,vz）。设t时刻用户的位置为（x,y,z），设t＇时刻用户的位置为（x′,y′,z′），则用户的速度为

全球定位系统测量精度高。该系统短距离（15km 以内）精度可达到厘米数量级或更好；中长距离（几十公里到几千公里）相对精度可达到10−7−10−8。

中国北斗卫星导航系统（Bei Dou Navigation Satellite System,BDS）是中国自主研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（GPS）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统（见图1-7）。北斗卫星导航系统（BDS）和美国GPS、俄罗斯GLONASS、欧盟GALILEO，是联合国卫星导航委员会已认定的供应商。

北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务，并具备短报文通信能力，已经初步具备区域导航、定位和授时能力，定位精度10 m，测速精度，授时精度10 ns。

图1-7

北斗卫星导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成， 2020年左右将覆盖全球。中国正在实施北斗卫星导航系统建设，已成功发射近20颗北斗导航卫星。

在2014年11月17日至21日的会议上，联合国负责制定国际海运标准的国际海事组织海上安全委员会，正式将中国的北斗系统纳入全球无线电导航系统。这意味着继美国的GPS和俄罗斯的“格洛纳斯”后，中国的导航系统已成为第三个被联合国认可的海上卫星导航系统。

1.5.4 测重力加速度

地质、地震、勘探、气象和地球物理领域需要精确测量重力加速度g值。可以使用“对称自由下落”方法进行测量，它的原理为匀变速直线运动规律。将真空长直管沿铅直方向放置。自其中o点向上抛小球又落至原处所用的时间为T2。在小球运动过程中经过比o点高H处。小球离开H处至又回到H处所用时间为T1。现测得T1、T2和H，试决定重力加速度g。

解：如图1-8所示，将小球视为质点，建立以o为原点铅直向上的坐标系oy，测T2时，质点的初始坐标为y0=0，设其初始速度为。因小球回到 o 时最终坐标 y =0，则有

同理，设测T1时小球经H向上的速度为，又有

小球自H高落至o，有

从上面三式消掉v1和v2，即得到

这样就把测g归结为测长度和时间。以稳定的氦氖激光为长度标准用光学干涉法测量距离；又以铷原子钟或其他手段测时间，并力求排除静电或弱磁场干扰，能将g值测量得非常准确。我国是世界上能够准确测量重力加速度的几个国家之一。1989年十个国家（包括我国）在国际计量局用不同的方法进行了43694次观测，得到平均值为，误差仅为±7.4 ×10−8m·s−2。

图1-8

1.6 思考题解答

1-1 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？

答：

质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图1-9所示。

图1-9 思考题1-1图

1-2 与Δr、与Δv各有何区别？

答：为位移的大小，Δr为位置矢量大小增量，为速度增量大小，Δv为速率增量。

1-3 回答下列问题：

（1）位移和路程有何区别？

答：位移表示物体在空间位置的变化，为从初位置到末位置的有向线段，其大小与路径无关，方向由起点指向终点。质点从空间的一个位置运动到另一个位置，运动轨迹的长度叫做质点在这一运动过程中所通过的路程。路程是质点运动轨迹的长短。

位移与路程是两个不同性质的物理量，位移为矢量，有大小有方向，而路程是标量，即只有大小没有方向。在直线运动中，路程是直线轨迹的长度；在曲线运动中，路程是曲线实际轨迹的长度。当物体在运动过程中经过一段时间后回到原处，路程不为零，位移则等于零。

（2）速度和速率有何区别？

答：速度是矢量，速率是标量。和力、位移等矢量一样，速度是既有大小又有方向的物理量。平均速度定义式为，瞬时速度定义式为，平均速度为位移Δr的方向，瞬时速度v的方向沿质点运动轨道的切向。路程Δs与时间Δt的比值称为质点在时间Δt内的平均速率。平均速率是标量，等于质点在单位时间内所通过的路程，而不考虑运动方向。不能把平均速率与平均速度等同起来。如在某一段时间内，质点环行了一个闭合路径，显然质点的位移等于零，所以平均速度也为零，而平均速率却不等于零。

瞬时速率，是瞬时速度的大小，而不考虑方向，或者说瞬时速率就是瞬时速度的模。

（3）瞬时速度和平均速度的区别和联系是什么？

答：平均速度定义式为，平均速度只能反映出质点在t到t+Δt这段时间内运动的平均快慢，对质点运动的描述是粗略的，不精确的。因为它反映的是一段时间内位移的平均变化，不能详尽地反映出这段时间内质点运动快慢的细致变化。为了最详尽地掌握质点运动快慢的细致变化，需要借用极限的概念。要精确知道质点在某一时刻t（或某一位置）的运动情况，应使Δt无限减小而趋近于零，以平均速度的极限来表示瞬时速度定义式为，即速度v等于矢径对时间的一阶导数。

1-4 判断下列说法的正确性：

（1）做曲线运动的物体，必有切向加速度；

答：做曲线运动的物体，当速率增大或减小时，是存在切向加速度的。例如匀速圆周运动，只有法向加速度，切向加速度为零，此说法错误。

（2）做曲线运动的物体，必有法向加速度；

答：法向加速度必不为零（拐点处除外），正确。

（3）具有加速度的物体，其速率必随时间改变。

答：不一定。例如匀速率圆周运动，具有法向加速度，但是速率不变化。此说法错误。

1-5 质点做匀速圆周运动，以下各量哪些变？哪些不变？

答：（1）为瞬时速度

（2）

（3）为瞬时速率

（4）为瞬时加速度

（5）为切向加速度

6）为法向加速度，方向变化

变化的量为：（1）,（4）,（6）；不变的量为：（2）,（3）,（5）。

1-6 如图1-10所示，一斜抛物体的水平初速度是vox，它轨道最高点处的曲率圆的半径是多大？

答：斜抛运动的物体（忽略空气阻力）在最高点处，竖直方向速度为零，只有水平速度，即此时质点的运动速度为

图1-10 思考题1-6图

该时刻，质点运动的水平方向加速度就是质点运动的切向加速度，所以aτ=0，故总加速度就是法向加速度，即an=g，由于法向加速度一定指向质点运动的曲率中心，所以，此时刻曲率中心一定在通过最高点的竖直线上。由平面曲线运动的法向加速度与速率、曲率半径之间的关系可知，在轨道最高点处，于是可得该处曲率圆的半径为。

1-7 在圆周运动中，加速度的方向是否一定指向圆心？为什么？

答：不一定。物体运动时的加速度可以分为两个互相垂直的分量，一个是沿运动轨迹的切线方向，叫切向加速度。另一个垂直于运动方向，也就是轨迹切线的垂直方向（曲率半径方向），这个加速度是物体运动方向变化的加速度，就是法向加速度。加速度等于这两个加速度分量的矢量和。所以做圆周运动的物体一定指向圆心的加速度是向心加速度。如果物体做匀速圆周运动，那么速度大小不发生改变，则没有切向加速度，所以加速度就等于向心加速度，指向圆心。如果物体做变速圆周运动，那么加速度有切向分量，所以加速度等于两个加速度的矢量和。而且两个分量互相垂直，矢量合成当然不能再和向心加速度一个方向，所以就不会指向圆心了。

1-8 为什么质点在做曲线运动时，每一微过程都可看作圆周运动？

答：当质点沿任意曲线运动且时间趋于零时，运动的微位移所对应的圆心角非常小，位移近似等于弧长，运动轨迹的每一个小段都可以看作圆的一部分，因此任意曲线运动都可以看成是由一系列半径不同的圆周运动组合而成。圆周运动是讨论一般曲线运动的基础。

1-9 某人观察两辆做直线运动的汽车。发现在相同时间间隔内两汽车走过相同的路程。因此，他就断定两汽车的平均速度和平均加速度都相同。这种论断充分吗？

答：从上述条件只能得到两汽车的平均速率相同，两辆汽车的平均速度定义式为，由条件无法知道两车位移是否相同。平均加速度定义为，由条件无法知道两车始末速度矢量增量是否相同，所以上述论断不充分。

1-10 如图1-11所示，一质点做抛体运动，试分析切向加速度和法向加速度在何处最大，在何处最小。

图1-11 思考题1-10图

答：在抛体运动中，当不计任何阻力时，其加速度是恒定的，即重力加速度g，如图1-11 所示。设在抛物线上某一点处其仰角为θ，则该物体的法向加速度为an =g cosθn，切向加速度为a τ=−g sin θτ。当时，cos θ=1，即位于抛物线的最高点处有最大的法向加速度anmax =−gj。而切向加速度的最大值出现在取得最大值处，即在抛出点aτ=−g sin θ0；在落地点aτ=g sin θ0（落地点在同一水平面处）。若落地点为深渊，则aτ→g。

1-11 用置于地面的水桶盛雨水，在刮风与不刮风两种情况下，哪一种情况盛得快些？设风的方向与地面平行。

答：雨滴的垂直下落速度不受风的影响，相同大小的水桶，桶的接收面积一定，不论雨滴下落时速度风向与水平方向的夹角多大，单位时间内单位面积的水平面通过的雨量是一定的，故一样快。

1-12 打篮球时，跑步投篮，如果瞄准篮筐投反而投不进，为什么？应如何投才能投准？

答：抛体运动方程为，跑步投篮由于在水平和竖直两个方向都有了起始速度，瞄准篮筐投反而投不进是因为较难把握L和H与运动之间的关系，只有计算准确才可以投准，故需要长时间的训练和丰富经验的准确判断。

1.7 习题解答

速度与加速度

1-1 质点做曲线运动，r表示位置矢量，s表示路程，v表示速度，v表示速率，a表示加速度，aτ表示切向加速度，则下列4组表达式中，正确的是（）。

解：A选项中；

B选项中

C选项中；

D选项中

正确答案应该选B。

1-2 一快速火车做变速直线运动，其运动方程为：x=10t2，式中x的单位是m,t的单位是s。计算火车：

（1）在2～2.1s时间内的平均速度；

（2）在2～2.001 s时间内的平均速度；

（3）在2～2.00001 s时间内的平均速度；

（4）在2s时，物体的瞬时速度。

解：已知火车做变速直线运动的方程为x=10t2⇒Δx=10Δt2，则有

1-3 一质点在平面上运动，运动方程为x=2t,y=4t2−8。求：

（1）质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；

（2）t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度以及该点的轨道曲率半径。

解：（1）参数方程消去参数t，得到抛物线方程为

y=x2−8

轨道曲线略。

（2）t1=1s时：

质点的位置为

r （1）=2i−4j

质点的速度为

速度的大小为

速度的方向为

与x方向夹角为θ=arctan 4。

加速度为

加速度的大小为

加速度的方向为沿着y轴正向恒定不变。

此时轨道的曲率半径为

t2 =2s时：

质点的位置为

r （2）=4i+8j

质点的速度为

速度的大小为

速度的方向为

与x方向夹角为θ=arctan 8。

加速度为

加速度的大小为

加速度的方向为

沿着y轴正向恒定不变。

此时轨道的曲率半径为

1-4 大型喷气式客机要在跑道上达到360 km · h−1的速率才能起飞。假定飞机的加速度是恒定的，飞机从1.80km长的跑道上起飞时至少需要多大的加速度？

解：匀加速直线运动的计算式为

达到起飞的速度为，跑道长度为1.8 km，代入上式计算，有

1-5 当交通灯转变为绿灯时，一辆汽车以2.2m · s−2的恒定加速度由静止启动。同一时刻，一辆货车以的速度沿同方向匀速运动并超过这辆汽车，问汽车要经过多少时间才能追上货车？此时两车离路口有多远？汽车的速度有多大？

解：（1）汽车从绿灯路口开始做匀加速直线运动，位移为

货车从绿灯路口开始做匀加速直线运动，位移为

令s1=s2，则有

故要经过9.09s汽车才能追上货车。

（2）此时辆车行驶距离为

故此时两车离路口的距离为90.91 m。

（3）此时汽车速度公式为

故此时汽车的速度为20m · s−1。

1-6 某车的速率和时间t的关系为，单位为km · h−1。求：

（1）在汽车的速率减小到4km·h−1的时间内，车走了多少路程；

（2）车走完10km的路程需要多少时间。

解：（1）当汽车速率减小到4km·h−1时，所用的时间为

由公式可得

ds=vdt

对左右两边积分有

带入有

可得

s=20ln（1+t）

带入可得

s=（20ln5）km≈32.19km

在汽车的速率减小到4 km ·h−1的时间内，车走了32.19 km。

（2）当时，带入公式得

车走完10km的路程需要多少0.65 h。

1-7 一质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为a=3+5x2（SI制）。质点在x=0处的速度为。求质点在任意位置处的速度。

解：

当x=0时，,c=100，则

1-8 一细直杆 AB，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图1-12所示位置时，细杆中点C的速度为（）。

图1-12 习题1-8图

A.大小为v/ 2，方向与B端运动方向相同

B.大小为v/ 2，方向与A端运动方向相同

C.大小为v/ 2，方向沿杆身方向

D.大小为，方向与水平方向成θ角

解：对C点有

位置：

速度：

所以

正确答案应该选D。

（B点：，所以）

1-9 如图1-13所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。

解：

设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成θ角，由图1-13可知

将上式对时间t求导，得

图1-13 习题1-9图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，故

即

或

将v船再对t求导，即可得到船的加速度。

直线运动

1-10 一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过时间t后质点的速度和运动的距离。

解：由题意可知，加速度和时间的关系为

根据直线运动加速度的定义，得

因为t=0时，v0=0，故

根据直线运动速度的定义有，则

因为t=0时，x0=0，则位移为

1-11 一物体悬挂在弹簧上做竖直振动，其加速度a=−ky，式中k为常量，y0是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，求速度v与坐标y的函数关系式。

解：

又a=−ky，故

已知y=y0,v=v0则

1-12 离地高为2.00m的水管滴水，水滴按固定的时间间隔落下，每当第四滴开始下落时，第一滴刚好落在地板上。求第一滴刚落到地板上时，第二和第三个水滴所处的位置。

解：根据，得

则相邻两滴水之间的间隔为

第二滴水下落的时间为

第二滴水距离地面的高度为

第三滴水下落的时间为

第三滴水距离地面的高度为

1-13 一个正以速率上升的热气球在距地面80m 高处放下一包裹。（1）包裹需要多长时间才能到达地面？（2）包裹落地时速度多大？

解：由距离公式

，带入有

解得

故包裹需要5.12s才能到达地面。

由速度公式

vt=v 0t−gt，带入得

故包裹落地时的速度为。

1-14 一跳伞运动员离开飞机后自由下落了50m，这时她张开降落伞，其后她以减速下降。她到达地面时的速率为。问（1）她在空中下落的时间多长？（2）她在多高的地方离开飞机？

解：（1）在运动员自由下落过程中，有公式

可解得自由下落时间为

带入得

运动员张开降落伞时的初速度为

则根据公式得

带入有

则总时间为

故在空中下落的时间为17.47s。

（2）运动员打开降落伞距离地面高度公式为

带入有

则总高度为

h=h1+h2=297.75m

故运动员离开飞机时的高度为297.75m。

抛体运动

1-15 一物体以初速度被抛出，抛射角（仰角）为，略去空气阻力，求：

（1）物体开始运动1.5s后，运动方向与水平的夹角θ是多少？

（2）物体抛出后经过多少时间，其运动方向与水平成45°角？这时物体所在高度是多少？

（3）在物体轨迹最高点处和落地点处，轨迹的曲率半径各为多大？

解：以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向建立二维坐标系，如图1-14所示。

图1-14 习题1-15图

（1）初速度为

加速度为

a=−9.8jm · s− 2

任一时刻

与水平方向夹角为

当t=1.5s时

（2）此时tanθ=1，由，得t=0.75s。

高度为

（3）在最高处，，则

由对称性可知，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。

由图1-14可知

1-16 以初速度v0水平射出一发子弹，以枪口为原点，沿v0方向为x轴，竖直向下为y轴，求：

（1）子弹在任一时刻t的坐标及子弹的轨迹方程；

（2）子弹在t时刻的速度、切向加速度和法向加速度。

解：（1）子弹在x轴上做匀速直线运动，在y轴上做自由落体，则有

消去参数t，可得子弹的轨迹方程为

为一抛物线。

（2）vx=v0,vy=gt，则

子弹在t时刻速率为

子弹t时刻切向加速度为

aτ方向沿抛物线切线方向。

法向加速度为

an方向与v方向垂直，指向曲线凹的方向。

1-17 网球比赛中，运动员发出的球以的速度离地高度2.37m水平飞出。已知球网高0.90m，与发球点距离为12m。当球到达球网时，（1）它可否从网上飞过？球与球网网顶距离是多少？（2）现在假定发球情况如上，但球离球拍时有5.0°的俯角。当球到达球网时，它可否从网上飞过？此时球与网顶距离是多少？

解：设重力加速度。

（1）球到达网所用时间为

球t1时间内下降的高度为

球距网距离为

2.37−1.29=1.08m＞0.9m

所以，能从网上飞过，球距网距离为1.08−0.9=0.18m。

（2）发球时球的初始水平速度为v0cos 5°，初始竖直速度为v0sin 5°。

球到达网所用时间为

球t2内下降的高度为

球距网距离为

2.37−2.349=0.021m＜0.9m

所以，不能从网上飞过，球距网距离为0.9−（2.37−2.349）=0.879m。

1-18 一小球从1.2m 高的桌面边缘水平滚下，落地点与桌边距离为1.52m，求（1）此球在空中飞行多长时间？（2）此球离开桌边时的速率是多少？

解：平抛物体运动分为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则有

代入H=1.2m,S=1.52m，可得：t=0.49s,v0=3.1m · s−1。

所以此球在空中飞行0.49s，离开桌面时的速率为。

圆周运动

1-19 一质点从静止出发绕半径为R的圆周做匀变速圆周运动，角加速度为α，当该质点走完一圈回到出发点时，所经历的时间为（）。

D.条件不够不能确定

解：

再由题设条件θ0=0,ω0=0,θ=2π，代入上式可求得

故正确答案应该选B。

1-20 质点P在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t的函数关系为，已知t=2s时，质点P的速率为，试求t=1s时，质点P的速率与加速度的大小。

解：因为t=2s时，v=16m · s−1，又v=ωR=k t 2⇒k=4，即ω=4 t 2。当t=1s时

1-21 如图1-15所示，一汽车在半径R=400m的圆弧弯道上减速行驶。设在某一时刻，汽车的速率为，切向加速度的大小。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。

解：

图1-15 习题1-21图

法向加速度的大小为

方向指向圆心。

总加速度的大小为

由图1-15可知

则汽车的法向加速度和总加速度的夹角；总加速度与速度夹角。

1-22 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程随时间变化的规律为，其中，b、c为大于零的常数，且b2＞Rc。求：

（1）t时刻质点的切向加速度、法向加速度和总加速度；

（2）t为何值时aτ=an；

（3）当aτ=an时，质点已经沿圆周运动了多少圈？

解：（1）由，可得速率为

切向加速度为

法向加速度为

总加速度为

方向为

（2）当aτ=an时，解得

（3）把时间t代入路程表达式，当aτ=an时

即可求得。

1-23 游乐园中的摩天轮半径为15m，绕水平轴每分钟转5圈。求：（1）运动周期是多少？（2）在最高点和最低点时游客的向心加速度是多少？假定游客在半径15m处。

解：（1）每分钟转5圈，则

（2）角速度为

由于摩天轮做匀角速率圆周运动，所以最高点和最低点游客的向心加速度相同a=ω2R

1-24 一张 CD 音轨区域的内半径R1=2.2cm，外半径R2=5.6cm，径向音轨密度N=6500条/mm。在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以恒定的线速度运动的。求：（1）这张光盘的全部放音时间是多长？（2）激光束到达离盘心处5.0cm时，光盘转动的角速度和角加速度为多少？