3.6．代数数论角度，素数基底的思想证明例外偶数是空集

再介绍从代数数论领域出发，用反证法和数学归纳法完成哥德巴赫猜想的证明。两素数之和等于偶数，我们把它叫可表偶数，但不确定可表偶数是否等于所有的偶数，偶数集里存在可表偶数，不小于8的偶数全集中，可表偶数的补集就是例外偶数。只要证明所有例外偶数是空集，哥德巴赫猜想就可获得证明。而通过代数数论相邻论，确能证明例外偶数是空集。

在自然数a+b=c中，若a、b互素，所得的和c必与a、b两两互素，此时a+b=c为本原解方程，只要本原解方程的定义域和值域清晰可确定，非本原解方程即清晰可确定。为何确定a、b互素就能确定c也会与a、b两两互素？用归谬法证明，因为c同a或b如果有共因子，两边除以共因子，整数就会与分数相等，显然矛盾，这就反证了a、b、c若有一对互素必两两互素。可表偶数m3=可表偶数m1+可表偶数m2，约掉共因子后，是彼此互素的，且各自的素数范围虽然不同时一样，但定义域是一样的，和项所获得的值域可迭代给加项扩充定义域，因为符合交换律，所以2n项奇素数相加所得的和可在可表偶数加项中互换定义域。假如，t1（例外偶数）=m1（可表偶数）+m2（可表偶数），那么约掉共因子后，是彼此互素的，且各项的素数不但不同时一样，而且各项定义域范围也要求不一样。

可表偶数定理：能用两个不同奇素数之和表示的偶数叫可表偶数，只能用两个以上奇素数之和表示的偶数为例外偶数，而这样的例外偶数必定是空集。即加法二元运算在可表偶数上是封闭的。且其推广，加法n元运算在可表偶数上也是封闭的。

（1）从可表偶数pa+qb=2mi中，可判定2mi的素数因子特征。根据互素关系，2mi定与pa、qb互素，若奇素数pa、qb有密集无漏新增素数，可表偶数2mi就有密集无漏新增素数因子。

即：二元加法运算在奇素数域中虽不是封闭的，但在奇素数因子域中是封闭的。

假如三元方程不交互使用奇素数因子，根据三元互素分配，奇素数因子可分成三大类奇素数子集pa、qb、2mi，其中：

pa、qb扩充定义域，2mi就缩小；

2mi扩充定义域，pa、qb就缩小；

pa、qb为所有奇素数，2mi就空集；

2mi为所有奇素数，pa、qb就空集。

左右两边任何一方有非空奇素数因子子集，另一方就不会有奇素数因子全集。因此三元不交互使用奇素数因子，不可能出现左右两边任何一边奇素数因子是全集的。现左边的素数已知为全体奇素数，右边的素因子非空，故与假设不交互的推导结论矛盾，所以方程两边的素因子解集是交互使用的，2mi不会缺漏任何奇素数因子，方程左右两边没有不同的奇素数因子解集。一旦可交互使用，方程两边奇素数因子就必都是非互异的。

如果方程左边奇素数因子为全集，那么方程右边奇素数因子也必是全集，反之亦然。根据可表偶数的方程定义是左右同构的，从左边加性表达出发可推出右边乘性表达，从右边乘性表达出发可推出左边加性表达。

左边加性表达的素因子为全集时，从左全集推出右全集是成立的（用反证法）。假如左边加性表达的素因子为全集时，从左全集推出右非全集是成立的，说明素数的加性表达借助乘性不会扩域出新素数，即通过全集素因子所产生的偶数可乘积出非等价的子集素因子，这意味着与左边全集素因子项互异互素的右边不会产生新素数或新素数因子，且交互使用的部分会缩小数域，右边素因子成左边素因子的子集，说明右边子集的上下确界以外不会因互异互素而产生新素因子，这与每次互异互素运算矛盾，故乘性素因子非全集的假设是不真的。

右边乘性表达的素因子为全集时，从右全集推出左全集是成立的（用反证法）。假如右边乘性表达的素因子为非全集时，从右非全集推出左全集是成立的，说明素数的乘性表达借助加性会扩域出新素数，即通过子集素因子所产生的偶数可分割出非等价的全集素因子。这意味着子集素因子的乘积加1会产生新素数或新素数因子，该数用原来的子集素因子皆不能完成整除。由素数定义得到，这就是新素数或新素数因子数，如此右边将推出左边，左边会素因子扩域。但扩域后的左边与右边依然存在互异互素的运算，而右边却拒绝扩域，停留在子集中，于是矛盾。说明右边乘性素因子子集推不出左边加性素因子全集，可见右边乘性非全集的假设不真。

另外，根据n!+1=p+2k存在素数或新素数因子数，其中n＞3，且p与p+2k是差值为2k的素数对，亦可推出n！能分割出比n大的素数或新素数因子数，即子集素因子所产生的偶数能分割出比该子集范围更大的素数或新素数因子数，否则就同威尔逊定理（Wilson's theorem）发生矛盾。即乘性子集会借助加性扩域，左边扩域后的加性子集又会推动右边子集发生互异互素运算而扩域，可见右边乘性表达的素因子为非全集的假设是不真的。故可表偶数2mi中的素数因子含所有奇素数解集。所以，加法二元运算在素数解集上虽不是封闭的，但在素数因子解集上仍是封闭的。

（2）任意抽取两个可表偶数进行二元代数相加运算，惊异发现在可表偶数上是封闭的。即2ma+2mb=2mi，其中2ma、2mb、2mi皆为可表偶数。

三元互素本原解方程a+b=c中，已知a、b为可表偶数，虽然每次都互异互素，但累积三元互异互素，与累积三元非互异非互素，即仅改为非，其结果是完全不同的。前者由于例外偶数的条件要求，要始终保持互异互素，始终不共用a、b用过的素数因子，导致所有素数因子数只能二元分配，而用二元分配中的素数因子数无论构造什么数，都会与二元中的一元同素。故例外偶数就成空集。当a、b与c的定义域始终不共用素数因子时，其简化表达就是：

根据例外偶数c的定义，它与a、b从数集上是互异的，由于本原解方程在解集互异的前提下每次要求互素，故c从未产生过一次a、b中有的素因子，累积数集c也就不会有a、b中的素因子作为生成元。因此数集c与数集a、b一定是互素的。

a+b=c（当二分素数因子，a、b为素数因子的全集构成时，c可由互素的空集素数因子构成。c中的素数因子缩编为0个，a、b就为满域素数因子。）于是本原解方程中的c，其例外偶数就为空集，原方程c中的例外偶数也自然为空集，c仍为可表偶数，即可表偶数加可表偶数还是可表偶数，可表偶数的加法二元代数运算在可表偶数上是封闭的。

还可从逻辑上证明方程“若左右互异则左右互素”就是真命题，即a、b与c互异就一定互素。证明如下：

已知偶数拆分方程a+b=c是有解的；

故方程“若左右互异则左右互素”与“若左右互异则左右同素”的矛盾命题就不能同假；

现已知“若左右互异则左右同素”是假命题；

因为“若左右互素则左右同域”是假命题，这一点根据算术基本定理可知；

所以方程“若左右互异则左右互素”就是真命题。

解集c与a、b互素，c就只能为空集素因子；

故例外偶数c为空集；

即二元加法运算在可表偶数上是封闭的。

（3）可表偶数的n元代数运算在可表偶数上也是封闭的，即：

p1+q1+p2+q2+…+pi+qi=2m

（m>3, i>0，属正整数，pi+qi∈可表偶数2m，取奇素数p、q, 2n∈可表偶数2m。）

n=1时，1对奇素数之和，p+q=2m,2m为可表偶数，成立。

n=2时，2对奇素数之和，由2ma+2mb=2mi,2mi为可表偶数，前文已经完成证明，成立。

假如n=i-1时，i-1对奇素数之和，即p1+q1+p2+q2+…+pi-1+qi-1=2mi-（1m>3, i>0，属正整数，pi+qi∈可表偶数2m, （p、q）为奇素数），是真的。

则p1+q1+p2+q2+…+pi-1+qi-1+pi+qi=2mi-1+2mi=2m（根据结合律，可简化为可表偶数的二元代数运算）

于是当n+1时，可得到p1+q1+p2+q2+…+pi+qi=2m，依然成立。

故，可表偶数的n元代数运算在可表偶数上也是封闭的，于是就得到了数学归纳法的证明。n个可表偶数相加，所得到的结果依然是可表偶数。

而前文已证明的算术基本定理的偶数多项式推广定理：

p1+q1+p2+q2+…+pi+qi=2n

就是可表偶数的n元代数运算。由此可证，所有不小于8的偶数都是可表偶数。

故不小于8的所有偶数可用不同的奇素数之和表示，互异版哥德巴赫猜想也就获得了证明。该猜想的势显然大过欧拉版哥德巴赫猜想，因为它可推理得到欧拉版哥德巴赫猜想，而欧拉的偶数哥德巴赫猜想即便成立，也不能推理出两不同奇素数之和可表大于等于8的所有偶数。