本章小结

一、主要内容

1.平面的基本性质

三个公理：

（1）如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.

（2）如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于经过这点的一条直线.

（3）不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面.

三个推论：

（1）过一条直线和这条直线外的一点，可以并且只可以作一个平面.

（2）两条相交直线可以确定一个平面.

（3）两条平行线可以确定一个平面.

2.空间直线

空间两条直线的位置关系有三种：平行直线；相交直线；异面直线.

性质：

（1）空间两平行于同一条直线的两条直线互相平行.

（2）如果空间两个角的两边对应平行且方向相同，那么这两个角相等.

3.直线和平面

直线和平面的位置关系有三种：

直线在平面内—有无数个公共点；

直线和平面相交—只有一个公共点；

直线和平面平行—没有公共点.

直线和平面平行：

判定：如果平面外一条直线平行于这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行（即“线线平行，线面平行”）.

性质：如果一条直线和一个已知平面平行，那么过这条直线的平面与已知平面的交线和这条直线平行（即“线面平行，线线平行”）.

直线和平面垂直：

如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.

判定：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.

性质：如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线平行.

三垂线定理及其逆定理：

平面内的一条直线，如果和一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直.反之，平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它就和这条斜线在平面内的射影垂直.

4.平面与平面

空间两个不重合的平面，位置关系有两种：

两平面平行——没有公共点；

两平面相交——有一条公共交线.

平面与平面平行：

判定：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.

性质：如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的交线也互相平行.

二面角及其平面角：

由一条直线引出的两个半平面组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面.

在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线组成的角叫做二面角的平面角.

平面和平面垂直：

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面叫做互相垂直.

判定：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线，一定垂直于另一个平面.

5.空间几何体

棱柱、棱锥、棱台、旋转体.

有关的面积、体积计算公式见表7-1与表7-2.

二、应注意的问题

1.要摆脱以往平面思维的约束，善于用立体方式去观察、分析空间的图形，培养空间想象能力，形成立体思维习惯.

2.要注意区别：

（1）点到直线的距离与点到平面的距离；

（2）平行直线间的距离，与平面平行的直线到平面的距离，以及平行平面之间的距离.

（3）异面直线所成的角，斜线与平面所成的角；

（4）两平面所成的二面角及其平面角.

3.将空间问题转化为平面问题时，以下关系经常用到：

（1）平面的斜线、斜线的射影、斜线上点向平面作的垂线所构成的直角三角形关系.

（2）正棱锥中，侧棱、高和侧棱在底面上的射影所构成的直角三角形关系.

（3）正棱锥中，斜高、高和斜高在底面上的射影所构成的直角三角形关系.

（4）球中，球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球半径构成的直角三角形关系.