十一分工合作_刘薰宇数学三书：数学原来应该这样学（套装共3册）-QQ阅读男生科幻网

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十一分工合作

关于计算工作的题目，它对我来说一向是有点儿神秘感的。今天马先生一写出这个标题，我便很兴奋。

“我们先讲原理吧！”马先生说，“其实，拆穿西洋镜的原理也很简单。工作，只是劳力、时间和效果三项的关联。费了多少力气，经过若干时间，得到什么效果，所谓工作的问题，不过如此。想透了，和运动的问题毫无两样，速度就是所费力气的表现，时间不用说就是时间，而所走的距离，正是所得到的效果。”

真奇怪！一经说明，我也觉得运动和工作是同一件事了，然而平时为什么想不到呢？

马先生继续说道：“在等速运动中，基本的关系是：

“距离=速度×时间。

“而在均一的工作中——所谓均一的工作，就是经过相同的时间，所做的工相等——基本的关系，便是：

“工作总量=工作效率×工作时间。

“现在还是转到问题上去吧。”

例一：甲四日可完成的事，乙需十日才能完成。若两人合做，一天可完成多少？几天可以做完？

不用说，这题的作图和关于行路的，骨子里没有两样。我们所踌躇的，就是行路的问题中，距离有数目表示出来，这里却没有，应当怎样处理呢？但这困难马上就解决了，马先生说：

“全部工作就算1，无论用多长表示都可以。不过为了易于观察，无妨用一小段作1，而以甲、乙二人做工的日数4和10的最小公倍数20作为全部工作。试用竖的表示工作，横的表示日数——两小段1日——甲、乙各自的工作线怎么画？”

到了这一步，我们没有一个人不会画了。OA是甲的工作线；OB是乙的工作线。大家画好后争着给马先生看，其实他已知道我们都会画了，眼睛并不曾看到每个人的画上，尽管口里说“对的，对的”。大家回到座位上后，马先生便问：

图48

“那么，甲、乙每人一日做多少工作？”

图上表示得很清楚，1E是四分之一，1F是十分之一。

“甲一天做四分之一，乙一天做十分之一。”差不多是全体同声回答。

“现在就回到题目上来，两人合做一日，完成多少？”马先生问。

“二十分之七。”王有道回答。

“怎么知道的？”马先生望着他。

“四分之一加上十分之一，就是二十分之七。”王有道。

“这是算出来的，不行。”马先生。

这可把我们难住了。

马先生笑着说：“人的事，往往如此，极容易的，常常使人发呆，感到不知所措。——1E是甲一日完成的，1F是乙一日完成的，把1F接在1E上，得D点，1D不就是两人合做一日所完成的吗？”

不错，从D点横着一看，正是二十分之七。

“那么，试把OD连起来，并且引长到C，与OA、OB相齐。两人合做二日完成多少？”马先生问。

“二十分之十四。”我回答。

“就是十分之七。”周学敏加以修正。

“半斤自然是八两，现在我们倒不必管这个。”马先生说得周学敏有点儿难为情了，“几天可以完成？”

“三天不到。”王有道

“为什么？”马先生。

“从C看下来是二又十分之八的样子。”王有道。

“为什么从C看下来就是呢？周学敏！”马先生指定他回答。

我倒有点儿替他着急，然而出乎意料之外，他立刻回答道：

“均一的工作，每天完成的工作量是一样的，所以若干天完成的工作量和一天完成的工作量，是‘定倍数’的关系。OC线正表示这关系，C点又在表示全工作的横线上，所以OK便是所求的日数。”

“不错！讲得很透彻！”马先生非常满意。

周学敏进步得真快！下课后，因为钦敬他的进步，我便找他一起去散步。边散步，边谈，没说几句话，就谈到算学上去了。他说，感觉我这几天像是个“算学迷”，这样下去会成“算学疯子”的。不知道他是不是在和我开玩笑，不过这十几天，对于算学我深感舍弃不下，却是真情。我问他，为什么进步这么快，他却不承认有什么大的进步，我便说：

“有好几次，你回答马先生的问话，都完全正确，马先生不是也很满意吗？”

“这不过是听了几次讲以后，我就找出马先生的法门来了。说来说去，不外乎三种关系：一、和一定；二、差一定；三、倍数一定。所以我就只从这三点上去想。”周学敏这样回答。

对于这回答，我非常高兴，但不免有点儿惭愧，为什么同样听马先生讲课，我却不会捉住这法门呢？而且我也有点儿怀疑：“这法门一定灵吗？”

我便这样问他，他想了想：“这我不敢说。不过，过去都灵就是了，抽空我们去问问马先生。”

我真是对算学着迷了，立刻就拉着他一同去。走到马先生的房里，他正躺在藤榻上冥想，手里拿着一把蒲扇，不停地摇，一见我们便笑着问道：

“有什么难题了！是不是？”

我看了周学敏一眼，周学敏说：“听了先生这十几节课，觉得说来说去，总是‘和一定’‘差一定’‘倍数一定’，是不是所有的问题都逃不出这三种关系呢？”

马先生想了想：“就问题的变化上说，自然是如此。”

这话我们不是很明白，他似乎看出来了，接着说：“比如说，两人年岁的差一定，这是从他们一生下来就可以看出来的。又比如，走的路程和速度是定倍数的关系，这也是从时间的连续中看出来的。所以说就问题的变化上说，逃不出这三种关系。”

“为什么逃不出？”我大胆地提出疑问，心里有些忐忑。

“不是为什么逃不出，是我们不许它逃出。因为我们对于数量的处理，在算学中，只有加、减、乘、除四种方法。加法产生和，减法产生差，乘、除法产生倍数。”

我们这才明白了。后来又听马先生谈了些别的问题，我们就出来了。因为这段话是理解算学的基本，所以我补充在这里。现在回到本题的算法上去，这是没有经马先生讲解，我们都知道了的。

马先生提示一个别解法，更是妙：“把工作当成行路一般看待，那么，这问题便可看成甲从一端动身，乙从另一端动身，两人几时相遇一样。”

当然一样呀！我们不是可以把全部工作看成一长条，而甲、乙各从一端相向进行工作，如卷布一样吗？

图49

这一来，图解法和算法更是容易思索了。图中OA是甲的工作线，CD是乙的，OA和CD交于E。从E看下来仍是二又十分之八多一点。

例二：一水槽装有进水管和出水管各一支，进水管八点钟可流满，出水管十二点钟可流尽，若两管同时打开，几点钟可流满？

图50

这题和例一的不同，就事实上一想便可明白，每点钟槽里储蓄的水量，是两水管流水量的差。而例一作图时，将1F接在1E上得D,1D表示甲、乙工作的和。这里自然要从1E截下1F得1D，表示两水管流水的差。流水就是水管在工作呀！所以OA是进水管的工作线，OB是出水管的工作线，OC便是它们俩的工作差，而表示定倍数的关系。由C点看下来得二十四点钟，算法如下：

当然，这题也可以有一个别解。我们可以想象为：出水管距入水管有一定的路程，两人同时动身，进水管从后面追出水管，求什么时候能追上。OA是出水管的工作线，1C是进水管的工作线，它们相交于E，横看过去正是二十四小时。

图51

例三：甲、乙二人合做十五日完工，甲一人做二十日完工，乙一人做几日完工？

“这只是由例一推衍的玩意儿，你们应当会做了。”结果马先生指定我画图和解释。

图52

不过是例一的图中先有了OA、OC两条线而求画OB线，照前例，所取的ED应在1日的纵线上且应等于1F。依ED取10F便可得F点，连OF引长便得OB。在我画图的时候，本是照这样在1日的纵线上取1F的。但马先生说，那里太窄了，容易画错，因为OA和OC间的纵线距离和同一纵线上OB到横线的距离总是相等的，所以无妨在其他地方取F。就图看去，在10这点，向上看OA到OC，相隔正好是五小段。我就从10向上五小段取F，连OF引长到与C、A相齐，竖看下来是60。乙要做六十日才能做完。对于这么大的答数，我有点儿放心不下，好在马先生没有说什么，我就认为对了。后来计算的结果，确实是要六十日才做完。