第二节 三角函数常识

函数是指在某个变化过程中，有两个互相依赖的变量x和y，如果x取某值，y则依照确定的关系取相应值，这时，y是x的函数。例如，骑自行车以20km/h的速度行驶，行驶的路程s与行驶的时间t的关系为：s=20t；路程s是随时间t的变化而变化，s与t之间有一种对应关系，由于s和t可取不同的数值，所以是变量，而20的数值保持不变，所以是常量。如果给变量t一个值，另一个变量s则可得到唯一的相应值；对于时间t的每一个值，行驶路程s都有唯一的值与它对应，这时，行驶路程s是时间t的函数。

一、直角三角形及其六种三角函数

三角形用符号“△”表示，它是由三条线段组成的封闭几何图形（图1-1），组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形顶点，相邻两边所组成的角为三角形内角。三角形三个角的大小不一定相等，但三角形内角的和总是等于180°。

图1-1 三角形种类

a）直角三角形 b）锐角三角形 c）钝角三角形

在图1-1a所示的直角三角形中，∠A和∠B互为余角，∠A+∠B=90°，直角所对的边c叫斜边。对锐角A来说，a边是角A的对边，b边是角A的邻边，但对∠B来说，a边是∠B的邻边，而b边是∠B的对边。在直角三角形中，斜边永远对着直角，而邻边和对边是相对变化的，所以，计算中要先确定锐角∠A或∠B，然后找出三角函数的关系。

由于函数本身的意义就是互相依赖的变量，它在直角三角形中同样是某角的应变数，它随角度的变化而变化。一个直角三角形（图1-1a），如果知道了其中的任意两个边，那就可以知道锐角∠A或∠B的角度大小，同理，如果知道任意一个锐角和一条边，也可以得到其他两条边的长短尺寸。

在直角三角形中，它的三角函数有六种，其定义和计算公式见表1-5。计算时，正弦、正切和正割的函数值随角度的增大而增大，但不是和角度成正比例关系，也就是说，角度增大一倍，函数不是增加一倍；相反，余弦、余切和余割的函数值是随角度的增大而减小，同样，也不成比例关系，就是说角度增加一倍，函数值不是相应减小一倍。

表1-5 三角函数的定义和计算公式

（续）

从表1-5可知：

在实际应用中，只要记住正弦、余弦、正切的函数公式就可以了，因为正弦和余割、余弦和正割、正切和余切互为倒数关系，即：

二、30°、45°、60°的三角函数值及其关系式

30°、45°、60°的三角函数值见表1-6。

表1-6 30°、45°、60°三角函数值

从表1-6可看出如下关系式：

sin30°=cos60° tan30°=cot60°

sin45°=cos45° tan45°=cot45°

sin60°=cos30° tan60°=cot30°

sinA=cos（90°-A） tanA=cot（90°-A）

cosA=sin（90°-A） cotA=tan（90°-A）

三、应用三角函数计算直角三角形的一般方法

利用表1-5中三角函数的公式进行计算，必须具备三个元素，即直角三角形的某角和两个边，如果求算角度，就必须知道两个边的尺寸，如果求算某边，就必须知道一个角的度数和一个边的长度，这一角两边就是直角三角形的计算元素。

1，求算直角三角形角度

求算角度有两种形式：

（1）已知两边求角度根据两个已知边，找出要计算的角（图1-1a中的角A或角B），看它是属于哪种函数，然后用表1-5中的有关公式进行计算。

（2）已知一角求另一角的度数由于直角三角形两锐角∠A和∠B互为余角（图1-1a），∠A+∠B=90°，所以，∠A=90°-∠B，∠B=90°-∠A。

2，求算直角三角形边长

（1）已知一角一边求算另一边根据已知边求算角度，先看它是属于哪种函数关系，然后从表1-3中找出有关公式进行计算。如图1-1a中，已知∠B和a边，需求算c边。从表1-3中查出：，这时，。

（2）已知两边求算另一边这种类型的计算有两种方法，一种方法是利用三角函数，这时，先求出角度，然后利用一角一边的方法算出另一边；另一种方法是利用几何定理中的勾股弦定理，勾股弦定理计算将在本章第三节中介绍。

3，通过角和线间的关系组成直角三角形

实际工作中，遇到的图形和形状有圆形或多边形等，往往不是现成的直角三角形，这在计算中就需要利用几何图形中的角和线间的关系，通过画各种辅助线（平行线、垂直线、对角线、分角线、切线）方法组成直角三角形，然后才能进行计算。常用以下几种形式：

（1）应用计算元素组成直角三角形图1-2中，已知正方形边长a，求算对角线AB长。这时，连接AB得到直线c，组成直角三角形ABC进行计算。

图1-3中的燕尾槽镶条，已知宽度a和角度α，要求计算法向厚度b，这时，连接AC，组成直角三角形ABC进行计算。

图1-2 正方形

图1-3 燕尾槽镶条

（2）平分对称图形得到直角三角形图1-4所示是等腰三角形的对称图形，已知d和L，求算锥角α。这时，从顶点画一条垂直平分线，平分对称图形得到一个直角三角形，再进行计算。

图1-5所示是一个正六边形，已知边长S和角度，要求算出外接圆半径R。因为局部几何图形ABO不是直角三角形，而是一个对称图形。这时，同样通过平分而得到一个直角三角形。已知数、和未知数R组成了这个三角形的计算元素，这样计算就比较方便。

图1-4 等腰三角形对称图形

图1-5 正六边形

（3）画已知边和未知边的平行线组成直角三角形在图1-6中，已知高l，斜边L，求算斜角α。如果从A点画梯形的高AC，就得到直角三角形ABC。∠BAC=α，所以已知数l和L及未知数α组成了这个三角形的计算元素。

（4）画辅助线简算未知数（或简算已知数）组成直角三角形在图1-7中，已知a、b和h，要求算α。为了组成直角三角形，可画辅助线简算已知数，即A点作垂直线AC，就得到直角三角形ABC。但是这个三角形ABC只有一个已知数h和未知数α，要进行计算，还缺少一个已知边。这时，可将已知数简算而使它成为一个已知边，这样就可以进行计算了。

图1-6 截锥体

图1-7 等腰梯形

（5）利用圆（圆弧）的切线和半径组成直角三角形凡是遇到有圆或圆弧组成的图形，可以应用切线和过切点的半径相垂直（图1-12）的几何定理，把切线和切点处半径联成直角三角形。如图1-8所示，已知S和R，求算α。这时，可连接切点处半径OB组成直角三角形ABC。已知边R、S和求算数α角组成计算元素，进行计算。

图1-8 切线和圆组成的图形

以上五种组成直角三角形的方法是典型的例子，实际工作中遇到的几何图形往往比这些图形复杂，但一般来说都可以应用这些典型方法来组成直角三角形，或由以上几种方法的组合来找出直角三角形，这样就容易进行计算了。