1.4 粒计算的基本问题
Yao认为，粒的大小、粒上的操作、粒之间的关系是粒计算理论发展中最重要的部分。对研究对象进行适当分割，在问题求解中使用粒子，是粒计算的基本思想。粒计算是一个很宽泛的概念，它“覆盖了所有有关粒度的理论、方法、技术和工具的研究。粗略地讲，一方面，它是模糊信息粒理论、粗糙集理论、商空间理论、区间计算等的超集，另一方面，它又是粒度数学的子集。具体地讲，凡是在分析问题中应用了分组、分类和聚类手段的一切理论与方法均属于粒计算的研究范畴。”综上所述，粒计算是研究信息如何分类的，被分成的块是两两分离的划分，还是两两可能有交的模糊分割，它还研究分成的粒度大小、不同粒度层之间的关系、粒度分解和合并等。简言之，它是对于基于不同粒度层次和粒度细节的一般问题求解理论的研究。
毫无疑问，要建立一个形式化模型，首先应该确定要研究的对象及对象之间的相互关系。下面，详细讨论构成粒计算模型的3种基本元素：粒、按照相同准则所得到的粒构成的粒层（粒世界）和所有粒层构成的层次结构，以及2个方面的问题：粒化和以粒作为运算对象的运算、推理。对于每个问题都可以从语义和算法这2个方面来进行研究。
1.4.1 粒的构造和使用粒的计算
粒计算主要有2个方面的问题：粒的构造和使用粒的计算。前者处理粒的形成、表示和解释，后者处理在问题求解中的粒的运算。同时，粒计算可以从语义和算法的层面展开，其中每个方面对粒计算来说都同等重要。
①粒的构造：构造粒的标准、准则，构造粒的方法，粒的表示及描述。
②利用粒为对象的运算和推理：粒层映射，粒的转换，粒上的操作，性质保持性。
1.4.2 粒
粒是构成一个粒计算模型最基本的元素，或者说是粒计算模型的原语。粒是一簇点（对象、物体），这些点由于难以区别，或相似、或接近、或因为某种功能而结合在一起。我们可以把粒理解为由若干小的“颗粒”遵循某个规则结合在一起而构成一个大的“颗粒”，该规则称为粒化准则，按照粒化准则形成粒的过程称为粒化。一般来说，按照一个粒化准则可以得到一簇粒。
粒是无处不在的。可以说，人类生活在一个对现实世界进行粒化后的世界中。例如，时间的粒化伴随着人类生活，大到一个国家的长远战略规划，小到每个人的日常生活安排，几乎都是粒化的例证。再如，图像处理及地理信息都涉及空间粒化，图像的下层处理涉及分割、边缘检测、降噪等，而上层处理涉及图像的描述、解释。不同阶段粒化的程度不同，或者说对图像抽象的程度不同。
一个粒的物理含义与具体的问题以及所采用的粒化准则有关。例如，在商空间理论、粗糙集理论、聚类分析中，粒化准则通常是等价关系，而相应的等价类就是粒，它是原来论域的一个子集。
综上所述，粒是按照某个粒化准则对原来世界进行抽象所得到的结果，是粒计算模型中最基本的元素。
1.4.3 粒化
构造信息粒的过程称作信息粒化。信息粒化在本质上是分层次的。例如，在对一群人进行分析时，可以从性别、年龄、籍贯等角度进行考虑，即从不同粒度上来观察分析。
粒化是一个构造性的过程，可以简单地理解为在给定的粒化准则下得到一个粒层，在给定的多个粒化准则下得到多个粒层，进而得到所有粒层构成的结构。通常的方法可以是自顶而下地通过分解粗粒度的粒得到更细的粒，或自底而上地通过合成细粒度的粒得到更粗粒度的粒。粒化是执行粒计算的前提。
粒化准则考虑的是语义方面的问题，是回答为什么2个对象会被放进同一粒内的问题。关于粒化准则的一般要求有：粒化的结果使人们对问题的本质方面有更深入的理解，同时，抛弃那些无关紧要的细节，从而可以达到降低问题求解复杂度的目的。
粒化方法回答如何进行粒化的问题。在给定粒化准则的前提下，采用何种方法来实现粒层的构造，是算法方面的问题。例如，在划分模型下，粒化方法就是如何高效地实现划分的问题。
1.4.4 粒层
Yao从整个粒计算的结构角度出发，提出粒计算中的3个层次结构如下。
①每个粒内部的结构。
②处于同一粒层的不同粒之间的结构。
③所有粒层形成的结构。按照某个粒化准则所得到的粒的全体构成一个粒层，又被称为一个粒世界，是对现实世界的一种抽象化描述。下面，主要集中在集合论上讨论粒层的内部结构和粒层上的运算，因此可以借助一些数学术语。事实上，绝大部分实际应用问题都可以抽象到集合论这种模型下。
（1）粒层的内部结构
粒层的内部结构是指该层上的各个粒所组成的论域的结构，即粒与粒之间的关系。作为原来论域的子集来说，粒与粒之间可以是两两不相交的，如商空间理论、经典粗糙集理论；也可以是有交叉的，如基于模糊数学的词计算、某些广义粗糙集模型。粒层的内部结构可以把原来论域上的结构“继承”过来。
（2）粒层上的运算
这里提及2类：一类是代数运算，另一类是函数运算。某个论域上的一个代数运算可以简单地描述为参与若干个运算的对象以及运算的结果，其都是该论域上的元素，可以等价地用多元关系描述，实际上可以看作该论域上的一种结构。
人类在认识事物和解决问题时，总是习惯于从不同的角度和不同的方面去观察和分析，这是人类认识事物的一种基本方法。粒计算思想延续了人类这种智慧的结晶，使粒化后的不同粒之间形成了一种层次关系，不同层次的粒通过一定的自身内在关系（规则等）来形成联系；一般来说，上一层的粒比下一层的粒粗糙，下一层的粒比上一层的粒更细（具体）；不同层次的粒形成了一种分层的框架结构，正如人类思维中现实世界的概念也是层次结构的一样，并且这种层次结构可以形成一种偏序结构等。
1.4.5 所有粒层构成的结构
一个粒化准则对应一个粒层，不同的粒化准则对应多个粒层，这实际反映了人们可以从不同的角度、不同的侧面来观察和理解世界。那么，所有的粒层在一起应该用一定的结构表示。我们可以用层次结构或塔状结构来对其进行描述。虽然所用的术语不同，但它们都传递了一个基本的信息：应该考虑所有粒层构成的结构。如果把每个粒层看成一个元素，那么所有的粒层构成一个论域。
（1）粒层之间的关系
粒层与粒层之间可以按照集合的包含关系自然构成一个偏序集，甚至是完备格。例如，所有等价关系的全体构成完备格，其对应划分的全体构成的完备格被称为划分格，商空间理论和经典的粗糙集理论都是在这个格上进行讨论的，不过前者重在寻求一个合适的粒层上进行问题求解而后者强调在某个粒层上完成未知知识的表示。
（2）粒层之间的通信
一个粒层就是一个智能Agent，它们之间应该有通信的功能，而遍历所有粒层的基本问题是编码和解码问题。编码是将输入该层的信息变换成该层所能识别的码字，而解码则是将该层的粒变换成目标层所能识别的格式。2个粒层之间的编码和解码应该满足的理想条件是两者的合成是恒同映射，但实际上往往不能满足，因此取某种最优解。
（3）构造新的粒层
若给定一个粒世界，人们可以对它进行细分以得到抽象程度最低的粒层。例如，基于模糊等价关系的商空间理论，通过由小到大选取一组水平值，就可以得到一个分层递阶结构。若给定2个或若干个粒层，实际是得到对现实世界的不同层面的理解。为了得到对现实世界更为综合、客观的理解，需要进行粒世界的合成来解决这一问题。
1.4.6 以粒为运算对象的运算和推理
以粒为运算对象的运算和推理，也就是前面所说的狭义上的粒计算。粒计算一般涉及粒、粒层和所有粒层构成的层次结构，也可以从语义和算法这2个方面来研究。
（1）不同粒层之间的映射
由粒化得到的不同粒层之间的联系可以由映射来表示。在不同粒层上，同一问题以不同的粒度、不同的细节表示，粒层之间的映射就建立了同一问题不同细节描述之间的关系。例如，在商空间理论中，分层递阶结构实际是一条商空间链，自然投影具有连接各个层的作用，且任何3个层次之间的自然投影满足合成律，这样就实现了对同一问题在不同细节上的描述。事实上，商空间理论中所讨论的投影问题、合成问题以及推理问题都与自然投影有关，其中的核心概念是它的连续性。
（2）不同粒层之间的转换
在不同粒层上观察、分析、求解问题并实现在不同粒度间的自由转换，是粒计算的根本任务。考虑粗糙集模型，若等价关系由信息的属性子集决定，则对属性子集增加或减少若干属性，一般来说，可以实现在不同粒度之间的转换。在商空间理论中，从2个（或若干个）商空间出发进行合成，得到上界商空间和下界商空间，也可以完成不同粒度之间的转换。
（3）性质保持性
粒化允许同一问题在不同的细节上表示，一个自然的要求就是该问题的某些关键性质必须能够在不同粒度上体现出来，这是衡量粒化准则好坏的一个标准。商空间理论关于连通性、序的讨论都体现了这一点，其关键是自然投影（同时可以看作粒化方法、集值映射）的连续性。特别是由连通性所得到的保假原理，可以大大地缩小问题求解的搜索空间，在推理模型中尤为重要。