1.2 网络和图

要理解复杂系统，首先需要知道其各个组成部分之间彼此交互的方式。换句话说，我们需要一幅刻画各组成部分之间连接关系的地图。网络记录了系统各组成部分（节点或顶点）及它们之间的连接关系（被称为链接或边），见边栏1.1。网络作为复杂系统的一种表示方式，为研究性质、外观、范畴各异的复杂系统提供了公共语言。实际上，如图1-2所示，三个截然不同的系统却有着完全相同的网络表示。

图1-2介绍了两个基本的网络参数：

图1-2 不同的网络，同样的图

图中展示了三个不同网络的一部分。（a）互联网：路由器彼此互联；（b）好莱坞演员网络：出演过同一部影片的两个演员之间相互连接；（c）蛋白质相互作用网络：细胞中可以拼接在一起的两个蛋白质之间彼此连接。虽然这些网络的节点和链接性质不同，但它们可以用同样的图来表示，由4个节点和4个链接构成，如（d）所示。

节点数N，表示系统中组成部分的个数。我们通常将N称为网络大小。为便于区分，网络中的各个节点记为i=1,2, …,N。

链接数L，表示节点间交互关系的总数。一般而言，我们很少对链接直接进行标记，而是通过其连接的两个节点来标记。例如，（2, 4）表示连接节点2和节点4的链接。

图1-2中的网络，节点数和链接数均为4。

网络中的链接可以是无向的，也可以是有向的。有些系统中的链接是有向的。例如，万维网中的链接由一个网页指向另一个网页；手机通话网络中的链接由呼叫者指向被呼叫者。有些系统中的链接是无向的。例如，恋爱关系网络中，恋爱双方之间的关系是无向的；电网中的传输线是无向的，电流可以沿着两个方向流动。

如果一个网络中所有的链接都是有向的，我们称之为有向网络或有向图。同样，如果其所有链接都是无向的，我们称之为无向网络。还有一些网络同时包含有向的链接和无向的链接。例如，在代谢关系网络中，有些代谢关系是可逆的——对应无向的链接，有些代谢关系是不可逆的——对应有向的链接。

在使用网络来表示一个系统时，我们所做的选择将决定我们使用网络科学成功求解特定问题的能力。例如，定义两个个体之间链接的方式决定了我们所能研究的问题：

（1）把工作中经常交互的个体连接起来所得到的职业关系网络，对于公司或组织的成功具有重要作用，受到了组织行为学研究的大量关注。

（2）将好友连接在一起而得到的好友关系网络，在观点、产品和习惯的传播中扮演着重要角色，引起了社会学、营销学和健康科学的研究兴趣。

（3）通过将具有亲密关系的个体连接起来而得到的性关系网络，对于研究艾滋病等性传染疾病的传播具有重要意义，受到了传染病研究的密切关注。

（4）根据邮件和通话记录构建的熟识关系网络，是上述职业关系、朋友关系、亲密关系的混合，对于研究交流和营销具有重要意义。

上述4个网络虽然有很多重合的链接（有些同事之间也是朋友关系，甚至有亲密关系），它们的用途和构造目的却大不相同。

我们也可以构造出一些从图论角度看是合法的、却没有什么实际用途的网络。例如，将同姓的人连接起来可以得到一个从定义上看没什么问题的网络（约翰和约翰相连，而玛丽和玛丽相连），我们可以使用网络科学工具进对其性质进行分析。然而，其实际用途却是值得怀疑的。因此，将网络科学用于研究复杂系统时，需要仔细考虑节点和链接的选择，以确保构造出的网络对于所研究的问题是有意义的。

本书将使用10个网络作为例子来阐述网络科学工具。表1-1列出了这些参照网络，涉及社会系统——手机通话网络和电子邮件网络、合作网络（科学合作关系网络、好莱坞演员关系网络）、信息系统（万维网）、技术和基础设施系统（互联网、电网）、生物系统（蛋白质相互作用网络、代谢关系网络）和引文网络（科学引文网络）。这些网络的大小差异很大——小到只有1039个节点的大肠杆菌代谢关系网络，大到包含几十万个节点的引文网络。这些网络涵盖了网络科学的多个活跃领域，是研究人员经常用来展示网络关键性质的例子。如表1-1所示，这些网络中有的是有向的，有的是无向的。在接下来的章节中，我们将详细探讨每个网络的特性，这些网络在我们理解复杂网络的旅程中将扮演小白鼠的角色。

表1-1 经典网络数据

本书用于阐述网络科学工具的10个经典网络。表中列出了每个网络中节点和链接的性质、链接的方向性、节点个数、链接个数和平均度。对于有向网络，平均度是平均入度和平均出度的均值（见公式1.5）。