第3章　自动控制系统的时域分析

1．控制系统框图如图所示，试求

（1）当时，系统的阻尼系数ζ、无阻尼自然振荡频率以及系统对单位斜坡输入的稳态误差e_ss；

（2）当时重复（1）的要求；

（3）要使系统的阻尼系数，单位斜坡输入信号作用下系统的稳态误差，试确定和的数值，并计算在此参数情况下，系统单位阶跃响应的超调量、上升时间和调整时间。[上海交通大学2006研]

图3-1

解：（1）由题意可得该系统的闭环传递函数为

所以有，从而可得

由于系统的开环增益，为Ⅰ型系统，因此在斜坡输入作用下的稳态误差为

（2）由题意可得该系统的闭环传递函数为

所以有，从而可得

由于系统的开环增益，为Ⅰ型系统，因此在斜坡输入作用下的稳态误差为

（3）由题意可得该系统的闭环传递函数为

由于已知，所以可求得。从而可得

系统单位阶跃响应的超调量为；上升时间为；调整时间为

2．某系统结构如图所示，其中

试设计校正环节，使该系统在输入r（t）＝t作用下的稳态误差为零。[南京航空航天大学2003 研]

图3-2

解：若要求在输入r（t）＝t作用下的稳态误差为零，则系统必为Ⅱ型系统，即必须是Ⅰ型系统。

若设，则系统的闭环特征方程为

该特征方程有缺项，因此系统不稳定，不符合题意要求。

设，则系统的闭环特征方程为

列写劳斯表可得

要使系统稳定，则需满足以下条件即可。

由以上分析可知，，并满足即可满足题意要求。

3．控制系统的结构如图3-3所示。

（1）当输入r（t）为单位阶跃函数，n（t）＝0时，试选择K和K_t，使得闭环系统的超调量调整时间；并计算稳态位置，速度和加速度误差系数K_p、K_v、K_a；

（2）设干扰n（t）＝0，输入r（t）＝t，试问K和K_t之值对稳态误差有何影响？

（3）设输入r（t）＝0。当干扰n（t）为单位阶跃函数时，K和K_t之值对稳态误差有何影响？[西安交通大学研]

图3-3

解：（1）系统开环传递函数为

式中：K_k为开环增益。（1）闭环传递函数为

根据题意，有

系统为I型，在系统稳定的前提条件下有

由上式可知，K越大，稳态误差e_ss越小；K_t越大，稳态误差e_ss越大。

由上式可知，K越大，稳态误差越小；K_t越大，稳态误差越大。

4．控制系统方框图如图3-4所示。试求：

（1）当K₁＝25和K_f＝0时，系统的阻尼系数ξ，无阻尼自然振荡频率ω_n以及系统对单位斜坡输入的稳态误差e_ss；

（2）当K₁＝25和K_f＝4时重复（1）的要求；

（3）要使系统的阻尼系数ξ＝0.7，在单位斜坡输入信号作用下系统的稳态误差e_ss＝0.1。试确定K₁和K_f的数值，并计算在此参数情况下，系统单位阶跃响应的超调量，上升时间和调整时间。[上海交通大学研]

图3-4

解：（1）当K₁＝25和K_f＝0时，系统的闭环传递函数为

（2）当K₁＝25和K_f＝4时，系统的闭环传递函数为

（3）系统的开环传递函数为

系统为Ⅰ型，在单位斜坡输入信号作用下，系统的稳态误差为

根据题意，有

5．一个稳定的二阶线性定常系统，通过实验得到如下一些信息：

（1）输入信号为sin5t时，系统的稳态输出为

（2）输入信号为单位阶跃函数时，系统的稳定输出y（∞）＝5；

（3）将信号sin5t通过一个积分环节加到系统输入端，系统的响应如图3-5所示，试求系统的传递函数G（s）。[华中理工大学研]

图3-5

解：系统为二阶线性定常系统，G（s）的形式可取为

其中，B（s）最高为s的二次多项式。

（1）由，可知系统有零点所以

（2）由条件可知：

（3）

因此，Y（s）是典型二阶环节的单位阶跃响应的拉氏变换，故由图3-5可得：

故

6．已知单位反馈系统的开环传递函数。试分析：

（1）系统是否满足超调量的要求？

（2）若不满足要求，可采用速度反馈进行改进，画出改进后系统的结构图，并确定速度反馈的参数。

（3）求出改进后系统在输入信号r（t）＝2t作用下的稳态误差。[华中理工大学研]

解：（1）系统的闭环传递函数为

系统不满足要求。

（2）加入速度反馈后系统的方框图如图3-6所示。

图3-6

此时，系统的闭环传递函数为

由得所以

（3）改进后系统的开环传递函数为

系统输入信号为r（t）＝2t时，稳态误差为

7．设一反馈系统如图所示，试选择以使系统同时满足下列性能指标要求：

（1）当单位斜坡输入时，系统的稳态误差；

（2）闭环极点的阻尼比；

（3）调整时间秒。[东北大学2002研]

图3-7

解：由题意求系统的开环传递函数为

由此可得该系统的开环增益

又已知如下条件：

（1）在单位斜坡输入时的稳态误差为

（2）闭环极点的阻尼比

（3）调整时间

综上可得：

8．已知单位负反馈系统的开环传递函数为：

其中K＞0、T＞0。试确定使闭环系统稳定时，参数K、T应满足的关系；并计算在输入r（t）＝t×1（t）作用下系统的稳态误差。[北京航空航天大学2002研]

解：由题意求得闭环传递函数的特征方程为

由劳斯判据可知，要使闭环系统稳定则应满足

即

由于该系统为Ⅰ型系统，因此r（t）＝t×1（t）作用下系统的稳态误差为。

9．已知系统结构图如图（a）所示，

（1）若将结构图等效为图（b）形式，试求出等效的；

（2）试求使系统所有闭环特征根都位于s＝-1垂线之左K值范围。[南京航空航天大学2010研]

解：（1）由题意可知即为从U（s）到X（s）的传递函数，其有三条前向通路：

没有回路因此△＝1。由梅森公式可得

图3-8

（2）由（1）可得系统的特征方程为

令代入特征方程式可得

由劳斯判据可知

所以使系统所有闭环特征根都位于s＝－1垂线之左K值范围为（0.64，∞）。

10．已知系统结构图如图3-9所示：

（1）欲使系统闭环极点配置在－3＋j4，－3－j4处，试求K₁和K₂的值；

（2）设计G（s），使阶跃作用u（t）下稳态误差为零。[浙江大学研]

图3-9

解：（1）确定K₁和K₂的值。

利用梅逊公式，可得系统的前向通道增益为

特征式及余子式为

系统的闭环传递函数为

因此，系统的特征方程为

由题意，欲使系统闭环极点配置在-3＋j4，-3-j4处，即希望系统的特征方程为

由此可求得

按题意阶跃作用下稳态误差为零，即

则应有

11．（1）系统的特征方程为，由Routh判据判断系统的稳定性，并求出系统的闭环极点。

（2）系统的单位反馈二阶系统的开环传递函数为，为改善系统的性能加入测速反馈as，试求加入测速反馈后系统的无阻尼自然振荡频率，阻尼比和开环增益K，并说明测速反馈对系统性能有哪些影响。[华中科技大学研]

解：（1）劳斯表为

第一列系数出现零，说明系统有共轭虚根，系统为临界稳定。

构造辅助方程解得共轭虚根为特征方程为

可知另一闭环极点为s＝－4。

（2）加入测速反馈后，系统的开环传递函数为

开环增益为

闭环传递函数为

可见，加入测速反馈后，系统的无阻尼自然振荡频率不变，仍为ω_n。

阻尼比为，比原系统增加了，可减小系统的超调量，改善系统的动态性能；但由于系统的开环增益由减小为，会使系统的稳态误差增大。

12．控制系统结构如图3-10所示。

（1）当G_c（s）=0，r（t）=t×1（t），n（t）=－1（t）时，系统的总稳态误差

（2）选择使系统在给定输入为斜坡时，稳态误差

（3）选择使系统在各种给定输入时，动静态误差均为0。[华北电力大学（保定）2007研]

图3-10

解：（1）

13．某系统原始方程如下：

试绘制系统方框图，并求扰动输入n（t）＝（t＋2）•1（t）、给定输入r（t）＝[2t＋3＋0.5cos（2t＋15°）]•1（t）时，系统的总稳态误差。[华北电力大学（北京）2005研]

解：如图3-11所示，对系统的原始方程进行拉氏变换得

整理得

图3-11

给定输入r（t）分解为两部分：

ω＝2代入上式得