1.2　课后习题详解

1.1　设质量为m的粒子在势场V（r）中运动。

（a）证明粒子的能量平均值为，式中（能量密度）

（b）证明能量守恒公式

（势能平均值）

  （动能平均值）

　

其中第一项可化为面积分，对于归一化的波函数，可以证明此面积分为零（见《量子力学教程》，18页脚注），所以

（b）按能量密度W和能流密度s的定义

　

因此

1.2　考虑单粒子的Schrodinger方程

V₁与V₂为实函数．

（a）证明粒子的概率（粒子数）不守恒；

（b）证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为

证明：由Schrodinger方程

取复共轭

得

积分，利用Stokes定理

对于可归一化波函数，当，上式第一项（面积分）为0，而，所以不为0，即粒子数不守恒．

1.3　对于一维自由粒子

（a）设波函数为，试用Hamilton算符对运算，验证；说明动量本征态是Hamilton量（能量）本征态，能量本征值为

（b）设粒子在初始（t=0）时刻，求

（c）设波函数为，可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加，试问是否是能量本征态?

（d）设粒子在t=0时刻，求．

解：（a）容易计算出

所以动量本征态量（能量）的本征态，能量本征值为．

（b）其Fourier变换为

由于ψ（x，0）是能量本征态，按《量子力学教程》1.2节，（37）式，

（c）对于自由粒子，动量本征态，亦即能量本征态，由于是无穷多个动量本征态的叠加，所以不是能量本征态．

（d）因为，按《量子力学教程》1.2节，（5）式

所以

计算中利用了积分公式

1.4　设一维自由粒子的初态为一个Gauss波包

（1）证明初始时刻，

（2）计算t时刻的波函数

解：（1）初始时刻

按《量子力学教程》1.2节，（18）式之逆变换

所以

（2）按《量子力学教程》1.2节的讨论（见1.2节，（5）式，（18）式）可知，在t>0时的波函数

可见随时间的增加，波包逐渐扩散，振幅逐渐减小，而其宽度△x逐渐增大．

1.5　设一维自由粒子的初态为，证明在足够长时间后，

式中

是ψ（x，0）的Fourier变换

提示：利用

证明：根据自由粒子的动量（能量）本征态随时间变化的规律，式中所以时刻t的波函数为

当时间足够长后（t→∞），利用积分公式

上式被积函数中指数函数具有δ函数的性质，即

1.6　按照粒子密度分布ρ和粒子流密度分布j的表示式（1.2节式（13），（14））

定义粒子的速度分布v

证明设想v描述一个速度场，则v为一个无旋场．

证明：按照上述v的定义，可知

1.7　处于势场V（r）中的粒子，在坐标表象中的能量本征方程表示成

试在动量表象中写出相应的能量本征方程．

解：利用的Fourier变换

可知

即

所以在动量表象中相应的能量本征方程为