三、计算题

1某消费者消费三种商品，效用函数为。若该消费者收入，三种商品，

，，求消费者的最优选择。

解：首先讨论、的需求量，两者是完全替代的，因为，则消费者不会消费商品2。

此时效用函数可以改写为：。

由效用最大化的条件可得：，解得：。

又因为，，，所以。

因此消费者的最优选择为：。

2假设政府对一个每月收入$400的贫困家庭进行补贴。补贴方案有三种：一、政府允许该家庭购买$400的食品券，单位美元食品券的价格为$0.5；二、政府直接发放给该家庭$200的食品券补贴；三、政府直接发给该家庭$200的货币补贴。尝试画出该家庭的无差异曲线，解释该家庭的最优消费决策，并据此对比分析这三种方案的优劣。

解：如图5-2所示，用横轴表示花费在食品上的货币数量，用纵轴表示花费在其他商品的费用，建立坐标系。初始预算线为。

图5-2  三种方案的优劣比较

第一种补贴方案下，意味着家庭可以用$200购买$400的食品劵，因此预算线变为折线，最优选择为点，效用水平为。

第二种补贴方案下，政府直接发放给该家庭$200的食品券补贴，预算线变为折线（点在折线上），最优选择为点，效用水平为。

第三种补贴方案下，由于现金补贴没有使用上的约束（可以购买任意商品），政府直接发放给家庭的$200货币补贴将使得预算线平行向右移动$200，预算线变为，该预算线经过和点。此时，最优选择为点，表明家庭更偏向于消费其他商品。

由上述分析可知，对于这个家庭来说，第三种方案最好，第二种方案次之，第一种方案最差。

3小王的效用函数为。已知他的收入为，，。

（1）写出小王对、的需求函数；

（2）如果，他的需求是多少？如果，，他的需求是多少？

（3）小王的福利因的上涨上升了还是下降了，为什么？

解：（1）无差异曲线，即是凹的，所以最优化问题的解是角点解。

预算线方程是，从而，代入效用函数，得：

即为，要求在时的极大值，应在端点处取到，。

当，即，在取极大值，此时。

当，，在取极大值，此时。

当，，在两个端点处的效用是相等的。

即有：，，；，，。

（2）由，，，。

由，，，。

（3）这种价格上涨使得小王的福利下降。价格上涨而收入不变，预算线要向内移动，其他条件不变的情况下，效用减小。本题中角点为最优解，价格上涨也导致预算线与横轴和纵轴的截距变小，从而效用减少。

4假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是：1，2，3，同时该社会存在着两种商品，分别是和。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示：

1：；

2：，其中，；

3：，其中。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集；

（2）假如商品和商品的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对和的最优消费量；

（3）证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的；

（4）现在假设商品和商品的价格分别是和，消费者2拥有单位货币。请计算他的消费选择；

解：（1）令效用等于常数，和的关系即为消费者的无差异曲线。消费者1的无差异曲线及上等值集如图5-3所示：

图5-3  无差异曲线以及偏好的上等值集

（2）消费者的问题可以用下面的数学规划表示：

效用最大化条件为：，即。代入预算约束方程可得：

，

（3）根据效用函数的性质：效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。

对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可以得到：

令，，因此。

由此可得，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的。

（4）消费者的问题可以用下面的数学规划表示：

根据C-D效用函数的性质，上述问题等价：

构造拉格朗日函数为：

效用最大化的一阶条件为：

从上式可以得到：