4.1 图像梯度与内积能量

4.1.1 图像梯度

真实图像中的噪声通常使用加性高斯噪声来建模^［49-50］。如果f（x,y）、f_r（x,y）和ξ（x,y）分别表示图像点X（x,y）处的实际灰度值、理想灰度值和噪声，则有：

式中，ξ服从零均值、σ标准差的高斯分布，即ξ~N（0,σ²）。

记图像点X（x,y）处的梯度为g →（X）=［f_x（X）,f_y（X）］。在数字图像处理中，通常用离散梯度模板计算图像点的梯度，大小为N×N（N=2R+1,R为模板的尺寸）的梯度模板的一般形式为：

其中，′表示矩阵转置。

于是，

记：

则式（4-4）和（4-5）可改写为：

由于ξ（x+i,y）,ξ（x-i,y）相互独立，且ξ（x+i,y），ξ（x-i,y）~N（0，σ²）故ξ_x（X）的数学期望和方差分别为：

同理, ξ_y（X）的数学期望和方差分别为：

于是，记

则有ξ_x（X），。

4.1.2 内积能量的数学期望与方差

考虑点X（x,y）为中心r为半径的一个圆形区域G（X）={X_i‖X_i-X‖≤r²}内的图像点X_i（x_i,y_i），记,分别为点X和X_i处的梯度，点X处的内积能量定义为：

将

带入式（4-17），由内积的线性性质可知：

因ξ_x（X）,ξ_x（X_i）,ξ_y（X）,，且相互独立，所以内积能量IP（X）的数学期望为：

内积能量IP（X）的方差为：

4.1.3 梯度幅值及其数学期望与方差

为了在下一节比较内积能量和梯度幅值在噪声抑制方面的性能，我们需要计算梯度幅值平方的数学期望与方差。点X（x,y）处的梯度幅值平方为：

所以，M²（X）的数学期望为：

下面计算M²（X）的方差。由于ξ_x（X），，从概率论的知识可知：

根据χ²分布的性质可得：

于是，

因此，我们有：