3.2 伪球和伪球滤波器

3.2.1 伪球

伪球是拽物线（式（3-1））绕其对称轴旋转所形成的旋转曲面（见图3-5a），其方程为：

伪球有下述性质：

•伪球函数在中心处无定义：。

•伪球函数在区域G={（x,y）0≤x²+y²≤σ²}上（绝对）可积^［42］，且

即伪球的体积是以半径为σ的球体的体积的1/4。因此，伪球函数与任何有界函数的积在区域G上总是可积的。

•伪球函数在区域G^o={（x,y）|0＜x²+y²≤σ²}有任意阶连续偏导数，图3-5b、c给出了两个一阶偏导数的图示。

•伪球曲面的显著几何特征是在每一点的高斯曲率恒等于常数-1/σ^2［42］。

3.2.2 伪球滤波器

与构造拽物线滤波器类似，如果将伪球直接作为2D信号滤波器的核函数，则其滤波响应信号与原信号基本相同，不能获得滤波效果。考虑式（3-18）所示拽物线滤波器核函数F（x）的旋转面：

对上式进行归一化:

式中，为归一化常数以式 （3-26 ）所示函数为二元核函数的滤波器称为伪球滤波器PSF。对任何2D信号f（x,y），滤波器PSF的响应信号为：

与1D滤波器TF相同，在伪球滤波器PSF中，参数σ称为尺度参数，参数ε称为边缘控制参数。当ε固定时，σ越大，滤波器的平滑性能越强；当σ固定时，ε越小，滤波器的边缘保持能力越强（见图3-6）。

3.2.3 离散伪球滤波器

与构造离散拽物线滤波器类似，我们可以根据连续型伪球滤波器构造相应的离散型伪球滤波器。令{PSF_iji,j=1,2,…，2N+1}是来自二元核函数PSF（x,y）（式3-26）在区域［-σ,σ］×［-σ,σ］内的均匀抽样，即：

以{PSF_ij}为模板的二维离散滤波器称为离散型伪球滤波器。对任何二维离散信号f_iji,j=0，±1，±2，…}，离散型伪球滤波的响应信号是PSF_ij与f_ij离散卷积（模板{PSF_ij}经过归一化）：

式中，是归一化常数。