18.4 直轴设计计算
18.4.1 轴的强度计算
18.4.1.1 按扭转强度条件计算
这种方法是只按轴所受的转矩来计算轴的强度；若还受不大的弯矩时，则用降低许用扭转切应力的办法予以考虑。在作轴的结构设计时，通常用这种方法初估轴径。对于不太重要的轴，也可作为最后计算结果。
用这种方法估算轴危险截面直径的公式见表18-19。
表18-19 按扭转强度条件计算轴径的计算公式
注：计算的截面上有一个键槽时，应将求得的d增大3%左右；有两个键槽，d应增大7%左右，然后圆整至标准值（GB/T 2822—2005）。
18.4.1.2 按弯扭合成强度条件计算
通常把轴当作置于铰链支座上的梁。轴上零件传来的力，通常当作集中力来考虑，其作用点取在零件轮缘宽度的中点，轴上转矩则从轮毂宽度的中点算起。轴上支承反力的作用点，根据轴承的类型和组合按图18-6取定。
图18-6 轴上支承反力的作用点
a）深沟球轴承 b）圆锥滚子轴承 c）两个深沟球轴承 d）滑动轴承
，e=0.5l；
，e=0.5d，但不小于（0.25～0.35）l；对调心轴承，e=0.5l
若作用在轴上的各载荷不在同一平面内，则可分解到两个相互垂直的平面，然后分别求这两个平面内的弯矩，再按矢量法求得合成弯矩。
轴的直径由表18-21的公式计算。
表18-21 按弯扭合成强度条件计算的计算公式
注：1．表中计算d的截面处有按GB/T 1095—2003的标准键槽时，应增大轴径。对于直径d＞100mm的轴，有一个键槽增大3%；有两个键槽时，应增大7%。对于直径d≤100mm的轴，有一个键槽时，轴径增大5%～7%；有两个键槽时，应增大10%～15%。然后将轴径圆整至标准值（GB/T 2822—2005）。
2．表中未考虑轴向力Fa引起的压应力。当为压应力较大的实心轴时，按
校核轴的强度，式中α1—考虑轴向力和弯矩的作用性质差异的系数，取法与α相同。
18.4.1.3 按安全系数校核计算
按安全系数的校核计算有两种情况：一种是根据材料疲劳极限计算轴危险截面处的疲劳强度安全系数，载荷按轴上长期作用的最大变载荷进行计算；另一种是根据材料屈服强度计算轴危险截面处的静强度安全系数。载荷是根据轴的短时最大载荷（包括冲击载荷）来计算的。
危险截面的位置应是弯矩等较大及截面面积较小处。当按疲劳强度计算时，还应考虑应力集中较严重处，也就是实际应力较大的截面。当在同一截面处有几个应力集中源时，取各源所引起的应力集中的最大值。
安全系数的校核计算按表18-22中的公式计算。
表18-22 按安全系数校核计算的计算公式
（续）
表18-24 圆角处的有效应力集中系数
注：当r/d值超过表中给出的最大值时，按最大值查取Kσ、Kτ。
表18-25 环槽处的有效应力集中系数
18.4.2 轴的刚度计算
一般机械制造业中，轴的许用挠度[y]、许用偏转角[θ]和许用扭转角[φ]见表18-28。
表18-28 轴的许用挠度[y]、许用偏转角[θ]和许用扭转角[φ]
18.4.2.1 轴的弯曲变形计算
要精确计算出轴的弯曲变形是比较困难的，除受力和支承情况外，轴承和机座的刚度，配合在轴上零件的刚度，以及轴的局部削弱等都影响到轴的变形。计算时，通常按简化方法计算。对于有较大过盈配合零件的轴段，可取零件轮毂直径作为轴的刚度计算直径。
轴的弯曲变形可采用材料力学的图解法，当量直径法或能量法来计算。图解法比较适用于求轴上多点变形量，或整根轴的挠度曲线；当量直径法是把阶梯轴当作直径为de的等直径轴来计算，只适用于对各段直径相差很小的阶梯轴的近似计算；当只需比较精确的计算轴上某几个特定点的变形，或利用计算机时，建议用能量法。
（1）当量直径法 把阶梯轴，连同较大过盈安装在轴上的零件，当成直径为de的等直径轴计算。其计算公式为
式中L——轴的计算长度，当载荷作用于两支承之间时，L=l，当载荷作用在悬臂端时，L=l+K；（l为两支承之间长度；K为轴的悬臂长度）；
li——阶梯轴i段的长度；
di——阶梯轴i段的计算直径；
n——阶梯轴计算长度内轴锻数。有了de，可用表18-29所列不同受载情况和叠加法，求得所需部位的变形量。注意不同载荷位置可有不同的de。
表18-29 轴的挠度y与偏转角θ的计算公式
注：1．挠度y与y轴线方向相同时为正，反之为负。如只需确定绝对值，则可不必考虑正负号。
2．支承处的偏转角θ，当挠度y随x增大而增大时为正，反之为负。
（2）能量法 用能量法计算轴的弯曲变形时，需要先按轴的计算直径绘出轴的外形和弯矩图（见图18-12a、b）；如需计算A处的挠度yA，则在A处加一单位力Fi=1（与变形方向相同），并绘出其弯矩M′图（见图18-12c）；如需计算B处的偏转角θB，则在B处加一单位力矩Mi=1（与变形方向相同），并绘出其（M′）图（见图18-12d）。然后按M、M′及轴截面的连续性，把轴分为n段（见图18-12），则按下式计算变形处的变形量Δi（挠度yA或偏转角θB）：
图18-12 能量法计算轴变形简图
式中，积分值
及符号说明见表18-30。
表18-30 积分值
注：1．如M和M′的方向相反，则其中一个取“+”，另一个取“-”。
2．如轴段为空心圆柱形，则表中的d4要用（d4-d40）代替。
如果轴上各载荷不在同一平面内，则可把这些载荷分解成为互相垂直的两个平面内的分力，分别算出在这两个平面内各截面的y及θ，然后用矢量法求出合成挠度和合成偏转角θ。
18.4.2.2 轴的扭转变形计算
轴的扭转变形，用每米轴长的扭转角φ来表明。圆轴的扭转角φ计算公式见表18-31。
表18-31 圆轴扭转角φ的计算公式 [单位：（°）/m]
18.4.3 轴的设计计算举例及设计计算程序
【例18-1】 已知传递的功率P=13kW，转速n=200r/min，齿轮的齿宽为100mm，齿数z=40，模数mn=5mm，螺旋角β=9°22′轴端装有联轴器。试设计传动带运输机减速器的主动轴。
【解】 （1）根据机械传动方案的整体布局，拟定轴上零件的布局和装配方案 考虑整体布局，拟定不同的装配方案进行分析对比，选用图18-12所示的装配方案。
（2）选择轴的材料 该轴传动中小功率，且转速较低，故选用45钢，调质处理。其力学性能由表18-19查得σb=640MPa，σs=355MPa，σ-1=275MPa，τ-1=155MPa，[σ-1]=60MPa，τs=207MPa，ψσ=0.2，ψτ=0.1，由表18-20查得A=115。
表18-20 几种常用轴材料的[τ]与A值
注：1．表中A值已将弯矩的影响考虑在内，当轴上弯矩较小时，[τ]取较大值，A取较小值。
2．当轴径较大或用Q235、35SiMn时，取较大的A值。
（3）初步估算轴的直径 由表18-19公式初步估算的轴径为
考虑装联轴器加键，将其轴径增加3%左右，故取锥形轴伸的大端直径为50mm。
（4）轴上零部件的选择和轴的结构设计
1）联轴器的选用。根据工作要求选择弹性柱销联轴器。由第23章查得K=1.25，则计算转矩：
依据轴径d=50mm和Tca选择联轴器的型号：LX4弹性柱销联轴器
，允许最大转矩[T]=2500000N·mm。
2）初步选择滚动轴承。根据轴的受力，选取60000型深沟球轴承。为了便于轴承的装配，取装轴承处的直径d=55mm。初选滚动轴承为6311，其尺寸为d×D×B=55mm×120mm×29mm，定位轴肩高度h=5mm。
3）根据轴向定位的要求，确定轴的各段直径和长度。Ⅵ-Ⅶ轴段为d=50mm圆锥形轴伸，查表1-24，d=50mm的轴伸长lⅠ-Ⅱ=82mm（长系列），与联轴器的锥孔长度L1=84mm相配合适。Ⅴ-Ⅵ轴段直径为dⅤ-Ⅵ=50mm，长度根据轴承盖的装拆及便于对轴承添加润滑脂的要求，取端盖的外端面与半联轴器左端面间的距离l=30mm，故取lⅤ-Ⅵ=56mm，取安装齿轮处的轴段Ⅲ-Ⅳ的直径dⅢ-Ⅳ=56mm；齿轮的右端与右轴承之间采用套筒定位。已知齿轮轮毂的宽度为100mm，为了使套筒端面可靠地压紧齿轮，此轴段应略短于轮毂宽度，故取lⅢ-Ⅳ=98mm。齿轮的左端采用轴肩定位，轴肩高度h＞0.07d=3.92mm，取h=4.5mm，则轴环处的直径dⅡ-Ⅲ=65mm，轴环宽度b≥1.4h=6.3mm，取lⅡ-Ⅲ=15.5mm。这里15.5mm是按齿轮距箱体内壁之距离取10.5mm，考虑到箱体的铸造误差，在确定滚动轴承位置时，应距箱体内壁3～5mm距离，这里取5mm；Ⅵ-Ⅶ段长度取与轴承宽B相同，则lⅠ-Ⅱ=29mm；Ⅳ-Ⅴ段长度为
lⅣ-Ⅴ=（15.5+2+29+2.5）mm=49mm
至此，已初步确定了轴的各段直径和长度。
4）轴上零件的周向定位。齿轮、半联轴器与轴的周向定位均采用平键连接。齿轮与轴的键由表7-4查得b×h×L=16mm×10mm×90mm（GB/T 1096—2003），轴上键槽深t=6mm。另外，为了保证齿轮与轴配合有良好的对中性，由表18-3选择齿轮轮毂与轴配合为H7/n6；半联轴器与轴联接，选用平键12mm×8mm×70mm。滚动轴承与轴的配合取k6。
5）确定轴上圆角和倒角尺寸。参考GB/T 6403.4—2008，取轴各处的倒角和圆角见图18-14。
图18-14 轴工作图
（5）轴的受力分析
1）作出轴的计算简图。按照18.4.1.3节的方法，得到轴的计算简图如图18-13所示，有a=b=80mm，c=170mm。
图18-13 轴的结构、载荷分布及弯曲变形计算图
2）轴受外力的计算。轴传递的转矩为
齿轮的圆周力为
齿轮的径向力为
齿轮的轴向力为Fa=Fttanβ=6125×tan9°22′N=1010N
联轴器因制造和安装误差所产生的附加圆周力Fo（方向不定），故图中以假想线表示：
3）求支反力。为方便计算，分别在水平面内和垂直面内进行计算。
① 在水平面内的支反力（见图18-13）：
由ΣMA=0，得
由ΣZ=0，得
RAz=Fr-RBz=（2259-490）N=1769N
②在垂直平面的支反力（见图18-13e）：
由图可知，
③由于Fo的作用，在支点A、B处的支反力（见图18-13g）：ΣMB=0，得
④合成支反力。按可能最大的支反力计算：
（6）轴的强度计算
1）按弯扭合成强度条件计算。
①计算弯矩、画弯矩图。由齿轮的作用力在水平平面的弯矩图（见图18-13d）：
MDz=RAza=1769×80N·mm=141520N·mm
由齿轮的作用力在垂直平面的弯矩图（见图18-13f）：
MDy=RAya=3063×80N·mm=245040N·mm
由齿轮作用力在D截面的最大合成弯矩：
由Fo的作用作出的弯矩图（见图18-13h）：MBo=Fo×c=2483×170N·mm=422110N·mm。
该弯矩图的作用平面不定，但当其与上述合成弯矩图共面时是危险情况。这时其弯矩为二者之和。如截面D的最大弯矩：
②画转矩图（见图18-13k）：
T1=620750N·mm
③校核轴的强度，选择计算弯矩Mca=
较大、轴直径较小的抽剖面校核计算。这里截面D计算弯矩最大，截面E计算弯矩亦较大，轴直径小，确定校核此两截面。
转矩按脉动循环变化计算，由表18-21的公式：
两截面都是σ≤[σ-1]=60MPa，安全。
2）按安全系数校核计算：
①按疲劳强度的安全系数计算。根据轴的结构尺寸及弯矩图，截面D处弯矩最大，且有齿轮配合和键槽引起的应力集中；截面B处弯矩较大，且有轴承配合引起的应力集中；截面E处弯矩也较大，直径较小。故这些截面都属危险截面，应进行疲劳强度的安全系数计算。下面仅以D截面为例。
由于轴转动，弯矩引起对称循环的弯曲应力，其应力为
式中W——抗弯截面系数，由表18-27的公式求得
表18-27 抗弯截面系数W和抗扭截面系数WT的计算公式
（续）
注：开有键槽的轴和花键轴，也有按内接圆直径计算其抗扭截面系数的。
弯曲正应力的平均应力σm=0根据表18-22中公式
式中Kσ——正应力的有效应力集中系数，由图18-7按键查得Kσ=1.82；按配合H7/n6查得Kσ=2.3，此处取Kσ=2.3；
图18-7 弯曲时，螺纹、键槽、横孔及配合边缘处的有效应力集中系数Kσ
（在键槽或花键的中段处，可取Kσ=1，齿轮轴的齿取Kσ=1，滚动轴承与轴配合按H7/r6配合选择，蜗杆螺旋根部可取Kσ=2.3～2.5，Rm≤700MPa取小值，Rm≥1000MPa取大值）
β——表面质量系数，轴径车削加工，Ra=1.6μm，由图18-9查得β=0.92；
图18-9 各种加工情况的表面质量系数β
1—Ra≤0.08μm 2—Ra=0.08～0.32μm 3—Ra=0.32～2.5μm 4—Ra=2.5～20μm 5—不加工
εσ——正应力尺寸系数，由图18-11查得εσ=0.81。
图18-11 零件的绝对尺寸影响系数εσ、ετ
1—Rm=500MPa的碳素结构钢εσ 2—Rm=1200MPa的合金钢εσ 3—各种钢的ετ，d＞100mm时查曲线1
考虑到轴上作用的转矩总是有些变动，故单向传递转矩的轴的扭转切应力一般视为脉动循环应力：
式中WT——抗扭截面系数，由表18-27的公式求得
根据表18-22中公式：
式中Kτ——切应力的有效应力集中系数，由图18-8，按键查得Kτ=1.61，按配合
查得Kτ=1.7，此处取Kτ=1.7；
图18-8 扭转时螺纹、键槽、横孔及配合边缘处的有效应力集中系数Kτ
（在螺纹处，可取Kτ≈1，蜗杆螺旋根部Kτ=1.7～1.9，滚动轴承与轴配合处按H7/r6选择）
ετ——切应力尺寸系数，由图18-11查得ετ=0.76。
由表18-22中公式：
由表18-23的许用安全系数可知，D截面是安全的，其他危险截面也应进行校核计算。
表18-23 许用安全系数[S]、[Ss]
注：当轴的损坏要引起严重事故时，上述安全系数还应适当加大30%～50%。
②按静强度的安全系数计算。取最大瞬时静载荷为额定载荷的两倍，也要分析危险截面。这里仍以D截面的计算为例。
按表18-22中的公式：
由表18-23的静强度计算安全系数可知，静强度是安全的。
（7）轴的刚度计算 考虑到D处的挠度大时，将使齿轮的啮合状态变坏。下面用能量法计算轴上截面D的挠度yD。为此，在D截面上加单位力Fi=1（图18-13i）其弯矩图如图18-13j所示。将轴上存在M′部分分成五段，其各段长度、直径和弯矩值如图18-13所示。根据表18-30中公式计算D点之挠度。
由齿轮作用力在水平平面内D截面的挠度：
由齿轮作用力在垂直平面内D截面的挠度：
由齿轮作用力在D截面的合成挠度：
由F0力的作用引起在D截面的挠度：
D截面可能产生的最大挠度：
yD=yD′+yDo
=（5.563×10-3+7.149×10-3）mm
=0.013mm
许用挠度量由表18-28可知：
[y]=（0.01～0.03）mn=（0.01～0.03）×5mm
=0.05～0.15mm
得yD＜[y]，轴的刚度够。
（8）校核键的连接强度（略，第7章）
（9）验算轴承寿命（略，第19章）
（10）根据计算结果修改设计 轴及轴上零部件在强度、刚度、寿命的计算中，如有过于富裕或不够时，都应对轴的结构及几何尺寸，以及轴上零件的布置进行修改，直到取得满意的结果。
（11）绘制轴的工作图（见图18-14） 在此例题中，（1）～（11）的步骤是轴通常设计的程序。对不太重要的轴，这个程序中的某些内容可以省略。对于高速轴还应作振动稳定性计算。
18.4.4 轴的临界转速计算
由于轴和轴上零件的质量分布不均匀、制造与安装误差及轴的变形等原因，将产生以离心力为表征的周期性干扰力，从而引起轴的振动。如果这种干扰力的频率与轴的自振频率相同或接近时，轴要发生共振现象。产生共振现象时轴的转速，称为临界转速。轴的临界转速计算的目的是使轴的工作转速避开临界转速，以防止发生共振。
轴的振动分为横向振动、扭转振动和纵向振动三类。轴在工作时，最可能发生的是横向振动。
一根轴的临界转速从低到高分别称为一阶临界转速ncr1、二阶临界转速ncr2、…。机械设计中常用到的是一阶临界转速。设计时，应使轴的转速不得与任何一阶临界转速相接近。一般要求：对于工作转速低于一阶临界转速的轴，应满足n≤0.75ncr1；对于工作转速高于一阶临界转速的轴，应满足1.3ncrR≤n≤0.7ncr（R+1）（R=1，2，…）。
轴的临界转速的高低，取决于轴的形状和尺寸、轴的支承形式、轴材料的弹性模量和轴上零件的安装形式、质量及分布。要精确计算其值比较复杂，可用下面的方法近似计算轴的一阶临界转速。
将轴简化为带多个质量为Wi、Gj的圆盘，且轴的自身质量为W0，截面当量直径为de的光轴振动系统见表18-32的简图。这些光轴的一阶临界转速可按表18-32的计算公式进行计算。当量直径de按下式计算：
表18-32 光轴的一阶临界转速计算公式
（续）
注：1．表列公式适用于弹性模量E=206GPa的钢轴。
2．当计算空心轴的临界转速时，应将表列公式乘以1-γ2（γ为空心轴的内径d0与外径之比）。
式中di——第i段轴的计算直径（mm）；
li——第i段轴的长度（mm）；
ζ——经验修正系数，若阶梯轴最粗一段长度或几段轴的长度超过全长的50%时，可取ζ=1；小于15%时，此段当作轴环，另按次粗轴段考虑，一般最好按照同系列机器的计算对象，选取有准确解的轴试算几例，从中找出合适的ζ值，例如，对一般的压缩机、离心机或鼓风机转子，可取ζ=1.094。
表18-33 一端外伸轴的系数λ1值
表18-34 两端外伸轴的系数λ2值
轴的自身质量包括不算作圆盘的其他轴上零件，如套筒等。轴的计算直径指紧配合在轴上的零件，使轴的抗弯刚度增加而考虑的直径。这里仅介绍了轴一阶临界转速的计算。