1.2.1　数制的概念

1.数制

数制又称计数法，是人们用一组统一规定的符号和规则来表示数的方法。计数法通常使用的是进位计数制，即按进位的规则进行计数。在进位计数制中有“基数”和“位权”两个基本概念。

基数是进位计数制中所用的数字符号的个数，基数的若干次幂称为位权。

在进位计数制中，使用数符的组合形成多位数，按基数来进位、借位，用权值来计数。一个多位数可以表示为：

式中，i为某一位的位序号；Ai为i位上的一个数符，0≤Ai≤R-1，如十进制有0、1、2…8、9共10个数符；R为基数，将基数为R的数称为R进制数，如十进制的R为10；m为小数部分最低位序号；n为整数部分最高位序号（整数部分的实际位序号是从0开始，因此整数部分为n+1位）。

式（1-1）将一个数表示为多项式，也称为数的多项式表示。例如，十进制数786，它可以根据式（1-1）表示为786=7×102+8×101+6×100，等式的左边为顺序计数，右边则为按式（1-1）的多项式表示。实际上把任何进制的数按式（1-1）展开求和就得到了它对应的十进制数，所以式（1-1）也是不同进制数之间相互转换的基础。

由此，可以将进位计数制的基本特点归纳为：

①一个R进制的数有R个数符。

②最小的数符为0，最大的数符为R-1。

③计数规则为“逢R进1，借1当R”。

2.常用数制

在日常生活中，人们通常使用十进制数，但实际上存在着多种进位计数制，如二进制（2只手为1双手）、十二进制（12个信封为1打信封）、十六进制（成语“半斤八两”，中国古代计重体制，1斤=16两）、二十四进制（1天有24h）、六十进制（60s为1min，60min为1h）等。在计算机内部，一切信息的存储、处理与传输均采用二进制的形式，但由于二进制数的阅读和书写很不方便，因此在阅读和书写时又通常采用八进制数和十六进制数来表示。表1-2-1列出了常用的进位计数制。

3.计算机采用二进制的原因

人们日常使用的是十进制，但是由于技术上的原因，计算机内部一律采用二进制表示数据和信息，选择二进制的主要原因是：

（1）二进制容易被物理器件所实现

例如，开关的两个状态（ON/OFF）可以用来表示二进制两个数符0和1，一个二极管的截止和导通也能够与二进制状态对应。

（2）二进制数可靠性高

两种状态表示二进制两个数符，数字传输和处理不容易出错，电路工作可靠，抗干扰能力强。

（3）二进制运算规则简单

例如，二进制的加法法则只有3个，乘法法则也只有3个，简化了计算机内部器件的电路，提高了机器运算的速度。

（4）二进制逻辑性强

计算机工作原理是建立在逻辑运算基础上的，逻辑代数是逻辑运算的理论依据。二进制只有两个数符0和1，正好代表逻辑代数中的“真”和“假”。