2.4　课后习题全解

1.下面三个例子哪些是分布列，哪些不是分布列？为什么？

（1）

（2）

（3）

解：（1）因为存在P（X=0）=-0.1，故不是离散型随机变量的分布列。

（2）是离散型随机变量的分布列。

（3）因为：

故不是离散型随机变量的分布列。

2.从95粒发芽、5粒不发芽的100粒种子中任意抽取20粒作发芽试验，试求20粒种子中不发芽种子数的概率分布。

解：由题意可知不发芽的概率为发芽的概率为

3.某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现在独立连续地向同一目标射击，直到打中目标为止，试求所需射击次数的概率分布。

解：由题意可知，射击打中目标的概率p（A）=0.8，则打不中目标的概率为p（）=0.2；设射击次数为X，其概率分布为：

P（X=1）= p（A）=0.8；

P（X=2）= p（）p（A）=0.2×0.8=0.16；

P（X=3）= p p（A）=0.22×0.8=0.032；

P（X=4）= p p（A）=0.23×0.8=0.0064；

…

P（X=n）= p p（A）=0.2n-1×0.8

4.设有某一类似于细胞分裂的物体，经一次分裂而为二，二再分裂为四，四再分裂为八，如此继续分裂有限多次而随机终止。设分裂n次终止的概率为，试求原物体在分裂终止后所分成的子块数目的概率分布。

解：设原物体在分裂终止后所分成的子块数目为X，则其概率分布为：

5.一口袋中有6个球，上面分别标有数字-3，-3，1，1，2，2。从袋中任取一个球，设取到各个球的概率相同，试求取得的球上所标数字X的概率分布。

解：

6.在汽车通行道上有多处红绿灯信号，设每处信号灯各以0.5概率亮，试求该汽车停止前进时通过红绿信号灯数目的概率分布。

解：假设在汽车通行道上有n处红绿灯信号，该汽车停止前进时通过红绿信号灯数目为X，其概率分布为：

P（X=0）=0.5

P（X=1）=0.5×0.5=0.25

P（X=2）=0.5×0.5×0.5=0.125

…

P（X=n）=0.

7.设X服从泊松分布且P（X=1）=2P（X=2），试求P（X=3）。

解：根据题意

故

8.射手用某门炮对目标进行三次射击，第一炮命中的概率为0.8。若第一炮命中，则第二炮必命中；若第一炮不中，经过调整第二炮命中的概率为0.9，第三炮必然命中，试求命中目标炮弹发数X的概率分布。

解：设第一炮命中事件为A；第二炮命中事件为B；第三炮命中事件为C。

P（X=1）=P（）P（）P（C）=0.2×0.1×1=0.02

P（X=2）=P（）P（B）P（C）=0.2×0.9×1=0.18

P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=0.8×1×1=0.8

9.下列函数是不是某个随机变量的分布密度？为什么？

（1）

（2）

（3）

解：若函数f（x）是随机变量的分布密度，则

（1）中f1（x）的值域为[0，1]，且

（2）中f2（x）的值域为[0，1]，且

（3）中f3（x）的值域为[-1，1]，且

故，是随机变量X的分布密度。

10.设p（x）=A（-∞<x<+∞），问A为何常数时p（x）为分布密度？

解：根据分布密度的性质可推导出

令

令

故

11.已知随机变量X的分布密度是

试求：

（1）常数A

（2）

解：（1）根据题意

（2）

12.已知随机变量X的分布密度是

试求：

（1）常数C

（2）X落在区间（0，1）内的概率

解：（1）

（2）

13.设K在区间（0，5）上服从均匀分布，试求方程4x2 +4Kx+K+2=0有实根的概率。

解：方程4x2+4Kx+K+2=0有实根，等价于（4K）2-4×4×（K+2）≥0

即： K2-K-2≥0，⇒（K-2）（K+1）≥0，K≥2或K≤-1

因K在区间（0，5）上服从均匀分布，所以K∈（2，5）

故方程有实根的概率等价于P（2≤K≤5）：

14.已知随机变量X的分布密度是

试求：

（1）常数C

（2）求数a，使得P（X>a）=P（X<a）

（3）求数b，使得P（X>b）=0.01

解：（1）

（2）

（3）

15.已知X～N（2.5，4），试求：

（1）P（X>5）

（2）P（X<-1）

（3）P（|X-2|<3）

（4）P（2X2+1>5）

解：（1）

　　=P（Y>1.25）

　　=1-P（Y<1.25）

　　=1-Φ（1.25）

　　=1-0.8944

　　=0.1056

（2）

　　=P（Y<-1.75）

　　=1-P（Y<1.75）

　　=1-Φ（1.75）

　　=1-0.9599

　　=0.0401

（3）P（|X-2|<3）=P（-3<X-2<3）

　　=P（-1<X<5）

　　　 

　　=P（-1.75<Y<1.25）

　　=Φ（1.25）-Φ（-1.75）

　　=0.8944-0.0401=0.8543

（4）P（2X2+1>5）=P（X2>2）

　　=P（|X|>1.414）

　　=P（X>1.414）+P（X<-1.414）

　　

　　=P（Y>-0.54289）+P（Y<-1.957）

　　=1-P（Y<-0.54289）+Φ（-1.957）

　　=1-Φ（-0.54289）+Φ（-1.957）

　　=1-[1-Φ（0.54289）]+1-Φ（1.957）

　　=Φ（0.54）+1-Φ（1.96）

　　=0.7054+1-0.975

　　=0.7054+0.025

　　=0.7304

16.已知某地月平均气温T服从正态分布，其中二月份平均气温μ=-14.3℃，方差σ=3.5℃，试求P（-15.4≤T<-13.2）。

解：P⇒P

17.已知随机变量X在区间[2，4]上服从均匀分布，试求：

（1）P（-1≤X<3）

（2）P{（X-3）2<0.25}

（3）P（3X+2<11.6）

解：（1）

（2）

（3）

18.已知X～N（5，22），求数a，使得：

（1）P（X<a）=0.90；

（2）P（|X-5|>a）=0.01。

解：令

（1）

（2）

19.下列函数是否为分布函数。

（1）

（2）

（3）　　

解：（1）F1（x）为不减函数，且0≤F1（x）≤1；右连续，故F1（x）为分布函数。

（2）F2（x）不是不减函数，尽管0≤F2（x）≤1，但右不连续，故F2（x）不是分布函数。

（3）F3（x）不是不减函数，且-1≤F3（x）≤1，右不连续，故F3（x）不是分布函数。

20.已知随机变量X的概率分布是

试求X的分布函数并计算概率

解：（1）X的分布函数F（x）=P（X<x）

（2）

P（|X-1|<5）=P（-4<X<6）=F（6）-F（-4）=1-0=1

21.已知随机变量X的分布密度是

试求：

（1）常数A

（2）分布函数F（x）

（3）

解：（1）

（2）

（3）

也可用积分的方法

22.已知随机变量X在[a，b]上服从均匀分布（a<b），试求X的分布函数。

解：

23.已知随机变量X的分布函数为

试求：

（1）分布密度P（x）

（2）P（X≤2）及P（X>3）

解：（1）由分布函数与分布密度的关系P（x）=P'（x）可知

（2）

24.已知随机变量X的分布密度是

试求X的分布函数F（x）。

解：

25.已知随机变量X在区间[0，1]上服从均匀分布，试求Y=-2lnX的分布。

解：（1） Y的分布函数

（2）Y的分布密度

26.设随机变量X的概率分布是

试求Y=X2的概率分布和分布函数。

解：（1）P（Y=4）=；P（Y=1）=+=；P（Y=0）=；P（Y=9）=； P（Y=16）=　　

故Y=X2的概率分布为

（2）Y=X2的分布函数

27.已知随机变量X的分布密度是

试求Y=lnX的分布密度和分布函数。

解：（1）y=f（x）=lnx在（0，+∞）是单调函数，，所以y=f（x）=lnx是单调增函数，其反函数x=g（y）=ey也是单调增函数，且g'（y）=ey，

故pY（y）= ey　（-∞<y<+∞）

（2）Y的分布函数

28.设随机变量X的分布函数为F（x），试求Y=eX的分布函数和分布密度。

解：（1）Y的分布函数F（y）=P（eX<y）=P（X<lny）=F（lny）

（2）y=f（x）=ex在（-∞，+∞）是单调函数，f'（x）=ex>0，所以y=f（x）=ex是单调增函数，其反函数x=g（y）=lny也是单调增函数，且

故pY（y）=pX（lny）=F'X（lny）（y>0）

py（y）=0， （其他）

29.设随机变量X的分布函数为

F（x）=A+Barctanx（-∞<x<+∞）

试求：

（1）常数A和B

（2）X的分布密度

（3）P（-1<x3<8）

解：（1）根据F（-∞）=0，可推导出又根据F（+∞）=1，可推导出

故A=0.5， 

（2）X的分布密度

（3）

30.如果随机变量X在区间上服从均匀分布，试求Y=tanX的分布。

解：y=f（x）=tanx在（-∞，+∞）是单调函数，f'（x）=（secx）2>0，所以y=f（x）=tanx是单调增函数，其反函数x=g（y）=arctany也是单调增函数，且

故

31.已知随机变量X的分布密度是

试求Y=sinX的分布密度。

解：y=f（x）=sinx；f'（x）=cosx；

当x=时，f'（x）=0

当0<x≤时，f'（x）>0

当<x≤π时，f'（x）<0

故y=f（x）=sinx在（0，π）不是单调函数，但在不相交的子区间（0，π/2）和（π/2，π）上严格单调，其反函数分别是x1=g1（y）=arcsiny和x2=g2（y）=arcsiny+，

故

pY（y）=0　其他

32.已知（X，Y）的概率分布是

试求（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布列以及F（0，-1），F（1，0），F（2，0），F（0.25，0.5），F（2，1），F（4，5）。

解：（X，Y）关于X的边缘分布是

（X，Y）关于Y的边缘分布是

F（0，-1）=P（x<0，y<-1）=0

F（1，0）=P（x<1，y<0）= +=

F（0.25，0.5） =P（x<0.25，y<0.5）=0

F（2，1） =P（x<2，y<1）=1

F（4，5） =P（x<4，y<5）=1

33.上题改为求（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。

解：（X，Y）关于X的边缘分布函数

（X，Y）关于Y的边缘分布函数

34.已知（X，Y）的联合分布密度是

试求：

（1）常数A

（2）

（3）P（X<Y）

（4）P（X>Y）

解：（1）由

（2）

（3） 如下页图所示，阴影部分为X<Y的区域，则

（4）如右图，阴影部分下方空白三角形为X>Y区域，则

35.已知（X，Y）的联合分布密度是

试求：

（1）常数C

（2）P（0<X<1，0<Y<1）

（3）X和Y是否独立？

解：（1）由

（2）由（1）得

（3）

因p（x，y）=pX（x）pY（y），故X和Y相互独立。

36.已知（X，Y）的联合分布密度是

试求：

（1）边缘分布密度pX（x）和pY（y）

（2）X和Y是否独立？

解：（1）

（2）p（x，y）≠pX（x）×pY（y），故X和Y不独立。

37.已知（X，Y）的联合分布密度是

试求：

（1）常数A

（2）P（X<2，Y<1）

（3）X和Y是否独立？

解：（1）由

⇒　A=2

（2）

（3）

p（x，y）=pX（x）pY（y），故X和Y独立。

38.设二维随机变量（X，Y）在矩形区域D=内服从均匀分布，试求联合密度和边缘密度，问X和Y是否独立？

解：联合密度

因联合密度等于边缘密度的成绩，故X和Y独立。

39.已知（X，Y）的联合分布密度是

试求：

（1）常数A

（2）边缘分布密度

（3）X和Y是否独立？

解：（1）由，可推导出

（2）

同理

（3）因联合分布密度p（x，y）不等于边缘密度pX（x）和pY（y）的乘积，故X和Y不独立。

40.已知（X，Y）的联合分布密度是

试求以下概率：

（1）P

（2）P（X+Y<1）

解：（1）

（2）

41.某地小麦的株高X服从正态分布N（85，9），如果从中任意抽取500株，可以预期有多少株小麦的株高在80cm到90cm之间？问70%的小麦株高集中在μ=85cm附近的多大范围内？

解：（1）

=2×0.9525-1=0.9050

⇒500×P（80<x<90）=500×0.905=452

（2）P（85-α<x<85+α）=0.7

故

故85-α=81.88，85+α=88.12

即70%的小麦株高集中在μ=85cm附近的（81.88，88.12）范围内。

42.一个Rh-血型的妇女（基因型为rr）与其杂合型Rh+血型的丈夫（基因型为Rr）有三个孩子，问这三个孩子全部是Rh+血型的概率有多大？

解：

43.对轻度智力降低隐形基因杂合的双亲（基因型为Aa）若有4个小孩，问出现如下情形的概率各为多少？

（1）全不正常

（2）全部正常

（3）3个正常，1个智力降低

解：

　

轻度智力降低隐形基因杂合的双亲后代小孩中正常，不正常，因此：

（1）全不正常的概率

（3）全部正常的概率

（3）3个正常，1个智力降低的概率

44.观测了45个水稻秧田小区的三化螟蛾，其在各小区的分布情况如下

　　如果三化螟蛾在秧田各小区内呈泊松分布，试计算三化螟蛾在小区内分布的理论频数。

解：

故，

P（0）= e-1=⇒小区内蛾数为0的理论频数为：

小区内蛾数为1的理论频数为：

小区内蛾数为2的理论频数为：

小区内蛾数为3的理论频数为：

小区内蛾数为>3的理论频数为：