2.3　矩阵的初等变换

在上一节我们已经指出，当矩阵的阶数比较大的时候，求逆矩阵的计算量将非常大，这一节我们将给出初等变换与初等矩阵的概念，并在此基础上给出用初等变换求逆矩阵的方法.

2.3.1　初等变换

在计算行列式的时候，行列式的如下三种变换在行列式的计算和行列式的理论上都有着很重要的作用：①交换行列式中任意两行或两列的位置；②用某个非零的数k乘行列式的任意一行或列；③将行列式某一行或列的k倍加到另一行或列上.行列式的这三种变换施加在矩阵上就得到下面将要介绍的矩阵的初等变换，而且矩阵的初等变换在求逆矩阵、解线性方程组、研究向量组的线性相关性以及求二次型的标准形中都具有非常重要的作用.

定义9　下面的三种变换称为矩阵A的初等行（列）变换：

（1）交换矩阵A的第i行（列）和第j行（列）的位置，用ri↔rj（ci↔cj）表示；

（2）用非零数k乘矩阵A的第i行（列）的每一个元素，用kri（kci）表示；

（3）将矩阵A的第j行（列）的k倍加到A的第i行（列），用ri+krj（ci+kcj）表示.

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，其逆变换还是同一种变换，并且变换ri↔rj的逆变换还是ri↔rj（变换ci↔cj的逆变换还是ci↔cj）；变换kri的逆变换是k-1ri（变换kci的逆变换是k-1ci）；变换ri+krj的逆变换是ri-krj（变换ci+kcj的逆变换是ci-kcj）.

定义10　如果矩阵A经过有限次初等变换后得到矩阵B，就称矩阵A与B等价，记为A～B.

由定义10，易知矩阵之间的等价关系具有下列性质：

（1）反身性　A～A；

（2）对称性　A～B，则B～A；

（3）传递性　若A～B，且B～C，则A～C.

矩阵经过若干次初等变换可以化为某些特殊的矩阵，这些特殊的矩阵就是行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形，对此我们先给出它们的定义.

定义11　若矩阵的每一行从左边开始，第一个非零元素下方的元素全为零，则称这样的矩阵为行阶梯形矩阵；若矩阵的每一行从左边开始，第一个非零元素为1，并且其所在列的其它元素全为零，则称这样的矩阵为行最简形矩阵.

由定义11可知矩阵

都是行阶梯形矩阵，其中第三个矩阵是行最简形矩阵.

定理3　任何一个矩阵A经过有限次初等行变换可化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵.

证明　如果A=O，则它已经是阶梯形矩阵，若A≠O，如果从左边开始，第一个有非零元素的列是第j1列，那么施行互换两行的变换可以使这个非零元素变到第一行，不妨设.

另外，对于每个i>1，施行行变换，就可以使第一行中元素下边的每个元素变为零.

再对余下的所有行组成的矩阵重复上述过程，直到化为行阶梯形为止.

最后，对于行阶梯形矩阵如果再施行第二种、第三种初等行变换即可化为行最简形矩阵.

例14　试把下面的矩阵A化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：

解　对矩阵A依次进行一系列初等行变换可得

于是矩阵A的行阶梯形矩阵和行最简形矩阵分别为

如果对行最简形矩阵再进行初等列变换，就可以化为更为简单的形式——矩阵的标准形.

定理4　任何一个m×n矩阵A都与一形式为

的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形.

证明　由定理3知，任何一个m×n矩阵A经过有限次的初等行变换可化为行最简形矩阵.最后再对行最简形矩阵施行若干次初等列变换，即可把矩阵A化为标准形.

2.3.2　初等矩阵

为了便于使用初等变换处理矩阵问题，我们引入初等矩阵的概念，它在诸多有关矩阵的理论和证明中起着不可替代的作用.

定义12　对单位矩阵E进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.

因为初等变换有三种，所以相应地，它们对应着以下三种初等矩阵.

（1）交换单位矩阵E的第i行（列）和第j行（列）所得到的初等矩阵记为

（2）用非零数k乘以单位矩阵E的第i行（列）所得到的初等矩阵记为

（3）将单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行所得到的初等矩阵记为

初等变换对应着初等矩阵，而初等变换都是可逆的，因此，三种初等矩阵也都是可逆的，易验证它们的逆矩阵还是同一种初等矩阵，且分别为

E（i，j）-1=E（i，j），E（i（k））-1=E（i（k-1）），E（i，j（k））-1=E（i，j（-k））.

利用矩阵乘法和初等矩阵的定义，即可得到下述重要定理.

定理5　设A是一个m×n矩阵，则对矩阵A进行一次初等行变换就相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A进行一次初等列变换就相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.

证明　我们仅对第三种初等行变换的情形加以证明，其它情形同样可以证明.

设矩阵

则

由上述等式可以看出，矩阵A的左边乘以E（i，j（k））等于把矩阵A的第j行的k倍加到A的第i行.

定理5换个说法就是用E（i，j）左（右）乘矩阵A等于互换A的第i行（列）和第j行（列）；用E（i（k））左（右）乘A等于用非零数k去乘A的第i行（列）；E（i，j（k））左（右）乘A等于A的第j行（i列）的k倍加到第i行（j列）上.

定理6　矩阵A可逆的充要条件是它可表示为一些初等矩阵的乘积

A=Q1Q2…Qm.

证明　由定理4，矩阵A与其标准形B等价，即矩阵A经过若干次初等行变换或列变换得到B，于是由定理5可知，存在初等矩阵Q1，Q2，…，Qm，使得

A=Q1Q2…QtBQt+1Qt+2…Qm.

如果矩阵A可逆，则矩阵B可逆，而B为标准形，于是B=E，从而有

A=Q1Q2…Qm.

反之，若A=Q1Q2…Qm，因为矩阵Q1，Q2，…，Qm都是初等矩阵，所以它们都可逆，从而矩阵A可逆.

推论1　两个m×n矩阵A与B等价的充要条件是，存在可逆的m阶方阵P及可逆的n阶矩阵Q，使得

A=PBQ.

证明　因为矩阵A与B等价，所以存在m阶初等矩阵P1，P2，…，Pt及n阶初等矩阵Q1，Q2，…，Qs，使得

A=P1P2…PtBQ1Q2…Qs.

令Q=Q1Q2…Qs，P=P1P2…Pt，则P，Q可逆且A=PBQ.

推论2　可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵.

证明　设矩阵A可逆，由定理6可知，矩阵A可表示为一些初等矩阵的乘积

A=Q1Q2…Qm.

于是，而矩阵，…，，还是初等矩阵，因为在矩阵A的左边乘以初等矩阵就相当于对A进行初等行变换，从而由等式可知，矩阵A经过m次初等行变换化为单位矩阵.

由推论2的证明过程，我们可以得到前面曾经提到的利用初等行变换求逆矩阵的方法.因为

　　 （1） 　　

所以

　　 （2） 　　

（1）、（2）两式说明，如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵，那么，同样地用这一系列初等变换就把单位矩阵化为A-1.

我们把A，E放在一起做成一个n×2n矩阵（A，E），然后对矩阵（A，E）作一系列初等行变换，实际上就是对矩阵A和E同时作一系列初等行变换，当把（A，E）中的A化成单位矩阵的时候，那么，（A，E）中的E就化成了A-1.同样，如果把A，B放在一起做成一个矩阵（A，B），然后对矩阵（A，B）作一系列初等行变换，实际上就是对矩阵A和B同时作一系列初等行变换，当把（A，B）中的A化成单位矩阵的时候，那么，（A，B）中的B就化成了A-1B.这就是利用初等变换求逆矩阵及求解矩阵方程的方法，下面举例加以说明.

例15　用初等变换求矩阵A的逆矩阵.

解　对矩阵（A，E）作如下一系列初等行变换，

于是

例16　求矩阵X，使得AX=B，其中

解　对矩阵（A，B）作如下一系列初等行变换，

于是