问题7 如何开展函数内容教学？

【观点与案例】

函数内容是中学数学的重要内容，同时也是学生普遍感到难学、教师普遍认为难教的内容．在平时的听课调研中，发现有关函数内容教学确实存在许多问题，同时历次的学生考试反馈也折射出不少有待改进的教学认识，笔者拟从平时教学和考试反馈的若干现象入手进行分析，提出有关函数内容教学的相关思考和建议．

一、“循序渐进”渗透函数思想

在初中数学教材编排中，函数内容板块按照先总后分的方式展开：先介绍函数的概念，然后分类学习特殊的函数：一次函数、反比例函数、二次函数、三角函数，其中浙教版安排学生首次接触函数概念是在八年级上册第五章．教材中，函数概念是这样叙述的：“在某一个变化过程中，有两个变量x, y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，称y是x的函数”.

尽管八年级学生已经形成一定的抽象思维能力，教师也使出了浑身解数来设计教学，但学生对这个生涩难懂的“函数概念”仍然云里雾里，甚至许多学生到初中毕业都未能很好地理解函数概念．且看2015年浙江省台州市的一道中考试题：

题目：图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示．

(1)根据图2填表：

(2)变量y是x的函数吗？为什么？

(3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．

本题以摩天轮的运动为载体，考查了学生对函数概念的理解层次，体现过程性评价的理念．据学生答题情况的抽样数据显示，学生对函数概念的掌握不甚理想，答案五花八门，比如第(2)小题，学生回答：“变量y不是x的函数，理由是它的图象不是抛物线，而是像几个抛物线的组合，所以变量y不是x的函数．”学生的答题从侧面反映了当前教师在函数教学中的误区：学习函数概念时，重点着眼于函数的三种表示形式的介绍，忽视函数概念的形成过程；函数概念只作一课时介绍，在函数概念学习之前和之后，都很少再提及函数概念；在学习特殊函数时，重点关注解析法表示的函数形式．正是因为这些教学误区，导致学生对函数概念的理解停留在表面，加上后续很少涉及函数概念又使学生逐渐遗忘．笔者认为，函数概念及其思想的教学应该“循序渐进”地渗透在有关函数内容学习的每一个过程中，潜移默化地建构函数思想．

现在，不妨让我们来整理几处函数概念学习前，教材中所体现的函数思想：在函数教学之前，七年级上册“4.1用字母表示数”是函数思想的萌芽，“4.3代数式的值”体现了“代数式的值随字母取值变化而变化”的函数思想．七年级下册《二元一次方程》一章中，未知数x, y所满足的二元一次方程，从变量的角度来看就是函数，用含x的代数式表示y既是代入消元法的知识准备，也是函数解析式的呈现方式．七年级下册《分式》一章中，探索分式有意义的条件相当于探索自变量的取值范围，探索分式值为零的条件相当于已知函数值求自变量x的值．从以上分析可知，函数思想不仅体现在函数概念教学之后，在函数概念教学之前，早已有所体现．事实上，函数统领着代数式、方程、不等式，函数解析式等号一侧通常就是以代数式的形式呈现，用未知数的观点看函数关系就是方程，不等式就是表达了两个函数之间的关系．正是鉴于以上分析，笔者认为，我们在函数教学的前和后，都应渗透函数联系与变化的本质．请看一则体现函数思想渗透的案例：

【案例1】浙教版七年级下册《5.1分式》探索分式有意义的条件教学片断

在学生获得分式的概念以后，尝试如下教学：

师：刚才我们已经知道，分式是特殊的代数式，对于代数式，当代数式中的字母确定时，我们可以求得代数式的值，现在，请你任取x的值，求出分式的值，完成下列表格：

生：(自行取值，完成表格)

【评析】本教学片断延续代数式的学习路径，设计了一个开放性的问题，学生在边取值边代入的过程中感受到：当字母x取特定的值时，分式的值也就随之而确定，同时在真实的课堂中，我们发现学生在取值的过程中有“涂涂改改”现象，这个“涂改”的过程就是学生思考的过程，他在这个过程中感到分式中字母的取值说“任意”并非“随便”，它有别于以往碰到的整式．这样的教学与常见的“先告知学生分式有意义的条件再加练习训练”不同，潜移默化地渗透了函数思想，也形成了学习代数式的路径．

在函数概念教学前后贯穿函数思想的教学，需要我们用函数的观点来审视有关函数内容，特别地，在学习了函数内容以后，我们不能出现“忘根”现象：一次函数、二次函数、反比例函数的概念教学完全脱离函数，直接通过“出示众多函数解析式，寻找具有公共特点的函数(比如自变量都是二次)”来进行函数教学，三角函数教学只通过直角三角形介绍线段比规定，导致学生只认识特殊函数的解析式．

二、“精致过程”描画函数图象

描画函数图象的教学，许多教师对学生的教学目标定位于“知道什么函数对应什么图形并会画图”，学生能记住一次函数对应直线，二次函数对应抛物线，反比例函数对应双曲线，也能学会按列表、描点、连线的步骤画图，但不知道列表时如何取一些代表性的数据，更不理解“满足一次函数解析式的点都在直线上，直线上任意一个点的坐标都符合解析式．”这种只讲“如何画不讲为什么这样画”的教学，虽然学生也“经历”了画图的过程，但这样的过程是“描摹”的过程，不是启发学生思考的过程，属于“伪过程”！描画函数图象的过程短暂或伪过程现象使得学生对图象的来龙去脉理解不到位．

【案例2】浙教版八年级上册《5.3一次函数的图象》

师：上节课，我们学习了一次函数，你们知道一次函数的图象是什么形状吗？

生：(摇头示意不知道)

师：让我们一起来探索一次函数y=2x, y=2x+1的图象，请大家填表：

生：计算填表

师：画一个直角坐标系，并在直角坐标系中画出y=2x的各个点(x, y)，注意点(x, y)中横坐标x、纵坐标y分别是表中x、y对应的一对值．

生：描画点．

师：观察这些点，它们都在同一条直线上吗？

生：(点头称是)

师：换一个解析式试一试，请你模仿刚才的过程把y=2x+1描画在直角坐标系中．

生：重新做一遍，发现也是一条直线．

师：一次函数y=kx+b(其中k、b为常数，k≠0)的图象是一条直线 ……

【评析】以上教学片断中，教师让学生按照列表、描点、连线的步骤画了一次函数的图象，也确实让学生体验了画图的过程，但是为什么要先列表？表格中为什么取这些数据？数据为什么取5个够了？更没有追问“以满足一次函数解析式的有序数对为坐标的点都在图象上，图象上的点的坐标都符合解析式”以让学生理解函数图象的完备性和存在性．事实上，浙教版在一次函数图象学习之前，只介绍过函数有解析法、列表法、图象法三种形式，本节课要在这个基础上，让学生感受有些函数同时兼有这三种表现形式，因此本节课的教学顺序是：如图3，我们可以按照箭头所示方向进行教学，先引导学生写出符合一次函数解析式的有序数对．学生在写的过程中可能是随意而无序的，然后引导学生思考取哪些值、个数多少比较合适，在经历这个思考以后让学生感受到为了使得描点更加有序，建议列表、按照从小到大的顺序取代表值，这样在边描点的过程中就边感受这些点从小到大连线可能得到的图形，最后通过观察得出图象是一条直线．但此处在学生得到图象是直线以后，并不能止步，应继续追问，符合解析式的其他有序数对为坐标的点是否都在直线上？虽然，我们不要求学生作出推理论证，但在这样的追问中学生能够感受到完备性，接着，反过来追问，“直线上的任意一点的坐标是否符合函数解析式？”让学生感受存在性，由此得到一次函数的图象是直线．

在有了一次函数的图象是直线的探索以后，后续将继续碰到探索反比例函数的图象是双曲线、二次函数的图象是抛物线，学生已经知道了可以通过列表、描点、连线来描画图象，因此可以重点让学生思考列表应该取哪些代表值？可以引导学生借助解析式进行思考，在学生描点以后，让学生展示一些画法，如修正反比例函数画图时“图象与y轴相交，连线不光滑，端点断头”等常见错误，通过师生、生生之间的辨析，渐渐明晰图象的形状和画法．

“精致过程”探索图象画法，主要指的是教师要引导学生思考如何画图？而不是把画图的步骤告诉学生，进而对画图过程中的每一步骤思考操作的理由，关注细节的生成．

三、“数形结合”理解图象性质

探索函数图象的性质是函数内容板块教学的重中之重．那么，如何探索得到函数图象的性质，大部分教师采取的方法是“先画图，再观察，后归纳”，比如关于一次函数，有这样一条性质“对于直线l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2，若k1=k2，则两直线平行”，老师的教学过程是这样的：

(1)画出函数y=2x、y=2x+4的图象；

(2)观察两条直线，你们发现它们有什么关系？由此你能得到什么结论？

(3)配备练习(略).

以上教学片断学生确实记住了这个结论，并且也会运用这个结论解决问题．但是仅仅是知其然，但不知其所有然．虽然学生经历了从画图中获得猜想的过程，但是教师跳过“验证和推理”直接从“猜想平行到归纳结论”，这个过程与“数学教学要培养学生严谨的思维能力”教学目标背道而驰．事实上，我们可以这样组织教学：在学生猜想两条直线的位置关系以后，不止于画图，而是进一步启发学生思考、合作探究．学生可能会换一组一次项系数相同的一次函数，进一步验证，然后运用演绎推理证明“K相同，两条直线互相平行”．事实上，如图4，易知点A、B的坐标分别是A(-2,0), B(0,4)，在直线y=2x上取纵坐标为4的点C，由点C向x轴画垂线，垂足为D，则 △AOB≌ △ODC(SAS)，从而有AB∥OD．然后再进一步引导学生证明一般形式的y=kx, y=kx+b具有平行关系．这个过程，既有实践活动(画图、观察)，又有思维活动(猜想、验证、证明)，体验“合情推理用来发现结论，演绎推理用来证明结论”.

在初中阶段，关于函数的性质，主要研究函数解析式系数变化与图象位置关系、单调性、最值、图象的对称性等，对于每一条性质，我们都可以从“数”和“形”两个方面来认识．

【案例3】探索反倒例函数的比例系数与图象位置的关系

在探索画出反比例函数的图象以后，让学生观察：

(1)比例系数k与反比例函数图象的位置有什么关系？

(2)请你解释你的猜想．

学生通过画图、观察、猜想：当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，在二、四象限，然后教师引导学生从“数”的角度解释．因为k>0时，点的横纵坐标x, y同号，所以点都在一、三象限；k<0时，点的横纵坐标异号，所以点在二、四象限．

对于特殊函数来说，“数”的视角可以理解为从解析式的视角，“形”的视角可以理解为图象的视角，“数形结合”研究函数性质，就是充分运用解析式和图象来解决问题，这也是研究函数问题的基本思路．

四、“模型思想”贯穿函数应用

函数模型在数学和现实生活中都有广泛的应用，教材在这方面提供了若干生动并具有实际意义的素材，全国各地历年的中考试题也作了很好的引导．从实际情况来看，学生最擅长于运用解析式解决问题，而不是运用函数模型思想来思考问题．比如下题：“若一次函数经过点A(m, n),B(m+2,n+4),, p)，则p的值是 .”大部分学生的解法是：设y=kx+b，然后将三个点的坐标代入，想办法通过消元解决问题，但是由于未知数过多，又找不到好的消元思路，所以问题不得而解．实际上，对于本题，如果学生理解一次函数的模型：“当自变量每增加一个单位时，函数值的变化量相同”，观察点A和点B的坐标关系，可知当自变量增加2时，函数值的增加4，说明自变量增加1时，函数值的变化量为2，因而k的值为2，即函数解析式为y=2x+b，由于点A在图象上，故2m+b=n从而b=n-2m,.

这里呈现一则笔者执教的体现函数模型思想的教学案例：

【案例4】八年级上册《5.3一次函数应用》第二课时教学片断

师：我们不妨先来探索一次函数y=10x+30在表格中变化的规律．下表是根据一次函数y=10x+30得到的一列数据，通过计算，看看一次函数的数据变化有什么规律？

生众：(学生计算，老师板书如下)

师：这个变化有什么规律呢？

生1：自变量每增加1个单位，相应地函数值就增加10个单位！

师：从这里可以看出，一次函数有这样的特点：当自变量每增加一个单位时，相应的函数值变化量是固定的．事实上，若数对(x1, y1)、(x1+1, y2)符合一次函数y=kx+b的解析式，则y2-y1=k(x1+1)+b-(kx1+b)=k，所以其实这个固定的值就是k．同学们，现在如果用列表法给出函数的数对，你怎样判断是否可能为一次函数呢？

接着配备练习由学生判断辨析，然后师生共同探讨课本例题，让学生通过读题从“沙漠面积每年以相同的速度增长”感受一次函数模型，并分析数量关系，把相同的增长速度设为“k”,1995年底的沙漠面积设为“b”，把变化的时间设为x年作为自变量，x年后该地区的沙漠面积设为y万公顷，得到函数关系y=kx+b，然后运用待定系数法求值获得解析式，预测沙漠面积变化情况．

【评析】怎样让学生经历一次函数模型的建立过程？本教学片断首先让学生通过表格中数据的计算发现一次函数的变化特点，然后由教师进行严谨分析(这里考虑到学生目前的学习水平，没有让学生进行说理)，最后从列表法总结出一次函数的规律是“当自变量每增加一个单位时，函数值的变化量是固定的值”，既让学生理解一次函数的“数值、文字表达(每分钟、每秒等)”特征，又经历了一次函数模型特征的认识过程．接着以“土地沙漠化”情境让学生理解题意、尝试建模、解决问题的过程，体验函数建模的完整过程．

五、“系统一致”处理各函数间的关系

函数内容的基本学习套路是：函数定义 → 函数图象 → 函数性质 → 函数应用，那么当我们学习了一种特殊函数后，怎样再来学习第二种特殊函数？听课调研中，较多的情况是特殊函数一种一种介绍，每学一种函数都是“另起炉灶”，学生只知道各函数的解析式之间有区别，所做的题目也不一样，根本不知道该如何学习函数．如果教师在学完一次函数以后，能够帮助学生梳理学习路径，这样，当他在继续学习新的特殊函数时，就可以运用以前学习函数的经验来进行学习，把学习新函数的过程变成对一类函数的研究过程，这样就能构建逻辑连贯、前后一致的教学．

【案例5】九年级下册《1.1三角函数》的导入教学设计

问题1：如图5，斜坡的倾斜角为30°，当器材P沿斜坡OB向上搬运5米时，点P离地面的距离PH是多少米？当向上搬运x米呢？

问题2：在器材P向上搬运的过程中，点P离地面的距离PH、点P离起点O的距离OP等量中，有哪些量发生了变化？有哪些量不发生变化呢？

【教学说明】教师创设了一个“器材沿斜坡运动”的问题情境，使得学生发现“当 ∠AO B=30°时，,”，激起学生回忆“函数指的是对每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与它对应”，巧妙地把三角函数放在函数的概念体系中进行教学．接着，通过“变量、不变量”的找寻，很自然地发现的值不变(如图6，运用相似知识说明比值与点P在角边上的位置无关)，而是随着角度的变化而变化(如图7，角度变成特殊的60°，比值随着改变，如图8，点P在以点O为圆心，OP为半径的圆上，比值中分母OP不变，当角度增大时，分子PH越来越大了，比值就越来越大)，因此得到是角度的函数，从而很自然地引出三角函数的概念．这样一个循序渐进的过程，让学生体会了锐角三角函数产生的必要性，理解了锐角三角函数是一个以角为自变量的函数，使学生慢慢理解了锐角三角函数的意义和符号表示，有效地突破了难点．

“理解数学是教好数学的前提”，数学教师应深入解读文本，并结合学生的实际设计教学，唯有如此，才能为学生终身的发展奠基．

【思考与讨论】

1．你如何理解函数在数与代数中的统领作用？

2.“数形结合思想”在解决函数的相关问题有哪些应用？请你举例说明