1.3 连续时间信号
连续时间信号是指以时间为自变量，并且在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义的信号。
1.3.1 信号的基本运算
1．信号的相加和相乘
两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。和信号可直接用加法表示为
两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。积信号可用乘法表示为
【例1-1】用MATLAB实现信号f1（t）=sin（πt）和f2（t）=sin（10πt）的相加和相乘，试分别绘制这两个信号及它们的和信号和积信号的波形。
解：采用数值计算方法，代码如下：
t=0：0.01：2; %定义从0到2,间隔为0.01的时间向量
x1=sin(1*pi*t); %定义信号x1
x2=sin(6*pi*t); %定义信号x2
x3=x1+x2; %信号相加
x4=x1.*x2; %信号相乘
%画函数图
subplot(2,2,1) %画第一个子图(在一幅图中画出4个子图,其中每一行包括2个子图)
plot(t,x1) %画x1的连续图
xlabel('t(sec)') %x轴标记
ylabel('x(t)') %y轴标记
subplot(2,2,2) %画第二个子图
plot(t,x2) %画x2的连续图
xlabel('t(sec)') %x轴标记
ylabel('x(t)') %y轴标记
subplot(2,2,3) %画第三个子图
plot(t,x3,t,x1+1,'r--',t,x1-1,'r--') %画x3和的连续图,以红色虚线作图
xlabel('t(sec)') %x轴标记
ylabel('y(t)') %y轴标记
subplot(2,2,4) %画第四个子图
plot(t,x4,t,x1,'r--',t,-x1,'r--') %画x4的连续图,以红色虚线作图
xlabel('t(sec)') %x轴标记
ylabel('y(t)') %y轴标记
运行结果如图1-1所示。
图1-1 信号的相加和相乘
2．信号的平移、翻转和尺度变换
（1）平移：将信号f（t）变换为f（t–τ），相当于信号f（t）的波形在t轴上平移。若τ＞0，则右移τ个单位；若τ＜0，则左移|τ|个单位。
如图1-2所示，f（t–1）的波形是f（t）的波形向右平移一个单位，f（t+1）的波形是f（t）的波形向左平移1个单位。
图1-2 信号的平移
（2）翻转：将信号f（t）变换为f（–t），此时f（–t）的波形相当于f（t）的波形以纵轴为中心作180°翻转，如图1-3（b）所示。此运算实质上是取其原信号自变量轴的负方向作为变换后信号自变量轴的正方向，因此又称为时间轴反转。
图1-3 信号的翻转
（3）尺度变换：将信号f（t）变换为f（α t），若α＞1，则f（α t）的波形相当于将f（t）的波形压缩α倍；若0＜α＜1，则f（α t）的波形相当于将f（t）的波形扩展1/α倍，这种运算称为信号的尺度变换。如图1-4（b）、（c）所示，f（2t）的波形是f（t）的波形压缩2倍得到，
的波形是f（t）的波形扩展2倍。
图1-4 信号的尺度变换
图1-5 例1-2图
在对信号进行尺度变换时，是以原点O为中心对信号进行压缩或扩展，而不是以图形的中心为基准进行压缩和扩展。
【例1-2】已知f（t）的波形如图1-5所示，试画出f（–2t–3）的波形。
解：根据压缩、翻转和平移的顺序，信号依次变换的波形如图1-6所示。
图1-6 例1-2信号的运算过程
1.3.2 偶信号和奇信号
偶信号是指关于纵轴对称的信号，可表示为
奇信号是指关于原点对称的信号，可表示为
任何信号f（t）都可以用一个偶信号fe（t）与一个奇信号fo（t）之和表示，fe（t）和fo（t）分别称为f（t）的偶分量和奇分量，即有
其中
【例1-3】已知信号
求信号的偶分量和奇分量，并分析信号的偶分量和奇分量的连续性。
解：由于f（t）是一个非奇非偶信号，其奇、偶分量一定存在，因此对其进行奇偶分解，得到偶分量为
奇分量为
可以验证，奇分量与偶分量之和即是原信号。信号的偶部和奇部在原点处都不连续。
【例1-4】用MATLAB绘制例1-3信号的奇、偶分量的波形，并绘制奇、偶分量的和信号的波形，比较是否和原信号一样。
解：采用符号计算方法，代码如下：
syms t s
u=sym('heaviside(t)');
u1=sym('heaviside(-t)');
f1=2*cos(3*t)*u;
f2=2*cos(-3*t)*u1;
fe=0.5*(f1+f2);
fo=0.5*(f1-f2);
f=fe+fo;
subplot(221)
ezplot(f1,[-1,1]);grid
subplot(222)
ezplot(fe,[-1,1]);grid
subplot(223)
ezplot(fo,[-1,1]);
grid
subplot(224)
ezplot(f,[-1,1]);
grid
运行结果如图1-7所示，奇分量的波形关于原点对称，偶分量的波形关于纵轴对称；奇、偶分量的和信号和原信号相同。
图1-7 例1-3信号的偶分量和奇分量
【例1-5】已知信号f（t）=e2t，试用MATLAB绘制其翻转信号f（–t）以及奇分量和偶分量的波形。
解：采用数值计算方法，代码如下：
t=-1：0.01：1;
f1=exp(2.*t);f2=exp(-2.*t);
fe=0.5*(f1+f2);fo=0.5*(f1-f2);
subplot(221)
plot(t,f1)
xlabel('t(sec)');ylabel('exp(2t)')
grid
subplot(222)
plot(t,f2)
xlabel('t(sec)');ylabel('exp(-2t)')
grid
subplot(223)
plot(t,fe)
xlabel('t(sec)');ylabel('fe')
grid
subplot(224)
plot(t,fo)
xlabel('t(sec)');ylabel('fo')
grid
运行结果如图1-8所示，翻转信号和原信号关于纵轴对称。偶分量关于纵轴对称，奇分量关于原点对称。
图1-8 例1-4信号的偶分量和奇分量
1.3.3 周期信号和非周期信号
一个连续时间信号f（t），如果存在正实数T0，对所有t均有
则称f（t）为连续时间周期信号，T0称为f（t）的基波周期。基波周期是使周期性成立的最小正实数。
周期信号每一周期内信号完全一样，故只需研究信号在一个周期内的状况，如图1-9所示。
图1-9 连续时间周期信号
不满足式（1-10）的信号称为非周期信号。非周期信号的幅值在时间上不具有周而复始变化的特性。
如果两个周期信号的周期具有公倍数，则它们的和信号仍然是一个周期信号，其周期是这两个相加信号的周期的最小公倍数。
【例1-6】试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。
（1）f1（t）=cos（2t–10）+sin5t
（2）f2（t）=sinπt+cost
解：（1）cos（2t–10）和sin5t都是周期信号，且其周期分别为
由于T1和T2的最小公倍数为2π，所以f1（t）是周期信号。
（2）同理，sinπt和cost都是周期信号，且其周期分别为
由于T1是有理数，T2是无理数，即T1和T2没有最小公倍数，所以f2（t）不是周期信号。
1.3.4 典型连续时间信号
1．正弦信号
正弦信号和余弦信号仅在相位上相差90°，其数学表达式为
正弦信号的时域特征由其振幅A，角频率ω0和相位θ描述。正弦信号是周期变化的，其周期、角频率和频率的关系为
在实际应用中，经常用到幅度增加或衰减的正弦振荡信号。
2．指数信号
指数信号的表达式为
式中，K和s是常数。根据K和s的不同取值，指数信号又分为实指数信号和复指数信号两种情况。
1）实指数信号
若K和s（s=α）均为实常数，则f（t）=Keαt是实指数信号。
当α＞0时，信号随时间增长；当α＜0时，信号随时间衰减；当α=0时，f（t）退变成常值信号。信号波形如图1-10所示。
实际中，经常用到单边指数信号，其定义如下：
式中，τ反映了指数信号衰减的速度，称为时间常数。
2）复指数信号
如果指数信号的指数因子为复数，则称之为复指数信号，其表达式为
图1-10 指数信号的波形
式中，s=σ+jω是复常数，K可以是实常数，也可以是复常数。
复指数信号按欧拉公式可表示成代数形式
由此可见，复指数信号的实部和虚部都是按指数规律变化的正弦信号。当σ＞0时，复指数信号的实部和虚部都是增幅的正弦振荡；当σ＜0时，复指数信号的实部和虚部都是衰减的正弦振荡。
用MATLAB绘制复指数信号的实部和虚部的波形如图1-11所示。代码如下：
t=-1：0.01：1;
f1=exp(1.*t);f2=exp(-1.*t);
f3=f1.*cos(0.6*pi*t/0.1);
f4=f1.*sin(0.6*pi*t/0.1);
f5=f2.*cos(0.6*pi*t/0.1);
f6=f2.*sin(0.6*pi*t/0.1);
subplot(2,2,1)
plot(t,f3,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
xlabel('t(sec)');
title('exp(t)cos(6*pi*t)');grid
subplot(2,2,3)
plot(t,f4,t,f1,'r--',t,-f1,'r--')
xlabel('t(sec)');
title('exp(t)sin(6*pi*t)');grid
subplot(2,2,2)
plot(t,f5,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
xlabel('t(sec)');
title('exp(-t)cos(6*pi*t)');grid
subplot(2,2,4)
plot(t,f6,t,f2,'r--',t,-f2,'r--')
xlabel('t(sec)');
title('exp(-t)sin(6*pi*t)');
grid;
图1-11 复指数信号的波形
3．抽样信号
抽样信号定义为
其波形如图1-12所示。
图1-12 抽样信号的波形
抽样信号具有如下性质：
（1）抽样信号Sa（t）是偶信号，且在t=0时，Sa（t）=1；在t=kπ时，Sa（t）=0。
（2）抽样信号Sa（t）是收敛的，当t→±∞时，Sa（t）→0。
（3）抽样信号Sa（t）的面积为π，即有
4．单位阶跃信号
连续时间单位阶跃信号定义为
其波形如图1-13所示。
单位阶跃信号在时间轴上平移τ后的波形如图1-14所示。
图1-13 单位阶跃信号
图1-14 单位阶跃信号向右平移
信号ε（t）在t=0处，ε（t–τ）在t=τ处都不连续。
任何截断信号都可用单位阶跃信号来表示。例如，如图1-15所示的矩形脉冲信号可用单位阶跃信号表示为
单位斜变信号定义为
其波形如图1-16所示。
图1-15 矩形脉冲信号
图1-16 单位斜变信号
从t=t0开始的信号，称为有始信号，如图1-17（a）所示；如果t0=0，则称为因果信号。因果信号一般用f（t）ε（t）表示，如图1-17（b）所示。
f1（t）=sinω0t·ε（t–t0）
f2（t）=sinω0t·ε（t）
图1-17 有始信号的波形
【例1-7】用MATLAB产生信号
f（t）=2R（t）–2R（t–1）–2R（t–2）+2R（t–3）
绘制信号的波形。
解：先用function函数产生斜变信号ramp，然后调用该子函数产生所需要的信号。代码如下：
function y = ramp(t,m,ad)
% t:时间变量
% m:斜变函数的斜率
% ad:时移因子,正值表示左移,负值表示右移
N=length(t);
y=zeros(1,N);
for i=1:N,
if t(i)>=-ad,
y(i)=m * (t(i)+ad);
end
end
保存该子函数为ramp.m文件，用于产生斜变信号。
clear all;clf
Ts=0.01;t=-5：Ts：5;
y1=ramp(t,2,0);
y2=ramp(t,-2,-1);
y3=ramp(t,-2,-2);
y4=ramp(t,2,-3);
y=y1+y2+y3+y4;
plot(t,y,'k');axis([-1 4-1 3]);grid
运行结果为梯形信号，如图1-18所示。
图1-18 例1-7的波形
【例1-8】用MATLAB产生信号
f（t）=3R（t+3）–6R（t+1）+3R（t）–ε（t–2）–2ε（t–4）
（1）绘制信号的波形；（2）绘制信号的奇、偶分量的波形。
解：先用function函数产生斜变信号ramp和单位阶跃信号ustep，然后调用这两个子函数产生所需要的信号。用于产生斜变信号ramp.m文件参见例1-7。产生阶跃信号的代码如下：
function y=ustep(t,ad)
% t:时间
% ad:时移因子,正值表示左移,负值表示右移
N=length(t);
y=zeros(1,N);
for i=1:N,
if t(i)>=-ad,
y(i)=1;
end
end
保存该子函数为ustep.m文件，用于产生单位阶跃信号。
下面的代码产生所需要的信号。
clear all;clf
Ts=0.01;t=-5：Ts：5;
y1=ramp(t,3,3);
y2=ramp(t,-6,1);
y3=ramp(t,3,0);
y4=-1*ustep(t,-2);
y5=-2*ustep(t,-4);
y=y1+y2+y3+y4+y5;
plot(t,y,'k');axis([-5 5-1 7]);grid
奇偶分解的代码如下：
[ye,yo]=evenodd(t,y);
subplot(211)
plot(t,ye,'r')
grid
axis([min(t)max(t)-1 5])
subplot(212)
plot(t,yo,'r')
grid
axis([min(t)max(t)-3 3])
function[ye,yo]=evenodd(t,y)
%t：时间
%y：模拟信号
%ye,yo：偶、奇分量
yr=fliplr(y);
ye=0.5*(y+yr);
yo=0.5*(y-yr);
运行结果如图1-19所示。
图1-19 例1-8的波形
5．单位冲激信号
连续时间单位冲激信号定义为
其波形如图1-20所示。
式（1-21）表明，单位冲激信号的面积为1，当t=0时，δ（t）→∞；当t≠0时，δ（t）处处为0。
单位冲激信号在时间轴上平移可得到任意时刻的冲激，记为δ（t–τ），且有
其中，δ（t）=0，t≠τ，其波形如图1-21所示。
图1-20 单位冲激信号
图1-21 τ时刻的冲激信号
单位冲激信号具有如下的性质：
（1）由于单位冲激信号除原点外处处为0，所以δ（t）与信号f（t）相乘有
（2）筛选性质为
式（1-24）说明δ（t）与信号f（t）作用后，能指定f（t）在t=0处的值f（0），因此称此性质为冲激信号的筛选性质。
同理，对时移的冲激信号，筛选性质为
在冲激信号的筛选性质中，其积分区间不一定都是（–∞，+∞），但只要积分区间不包括冲激信号δ（t–t0）的t=t0时刻，则积分结果必为零。
（3）尺度变换性质。
冲激函数作尺度变换后，有如下的恒等式
证明：当a＞0时，由冲激信号的筛选性质有
当a＜0时，有
即
所以
（4）单位冲激信号是偶信号
该性质同样可用冲激信号的筛选性质证明。
证明：因为
由此可见，δ（–t）和δ（t）对f（t）的作用效果一样，所以
δ（–t）=δ（t）
图1-22 单位冲激偶信号
（5）单位冲激信号的导数和积分。
单位冲激信号的导数是位于原点处的一对正、负极性的冲激，称为单位冲激偶，用δ′（t）表示，其波形如图1-22所示。
单位冲激偶具有如下的性质：
①筛选性质为
式中，f′（0）是f（t）的导数在t=0处的值。
时移的单位冲激偶的筛选性质为
②单位冲激偶信号是奇信号，即
因此，单位冲激偶的面积为0。其正、负两个冲激的面积相互抵消，用数学式表示为
单位冲激信号的积分是单位阶跃信号。
因为
这和单位阶跃信号的定义相同，因此有
