大数的故事16
〔美〕乔治·伽莫夫
你能数到多少？
有这么一个故事，说的是两个贵族决定做计数游戏——谁说出的数字大谁赢。
“好，”一个贵族说，“你先说吧!”
另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“三。”
现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他表示弃权说：“你赢啦！”
这两个贵族的智力当然是不很发达的。再说，这很可能只是一个挖苦人的故事而已。然而，如果上述对话是发生在原始部族中，这个故事大概就完全可信了。有不少探险家证实，在某些原始部族里，不存在比三大的数词。如果问他们当中的一个人有几个儿子，或杀死过多少敌人，那么，要是这个数字大于三，他就会回答说：“许多个。”因此，就计数这项技术来说，这些部族的勇士们可要败在我们幼儿园里的娃娃们的手下了，因为这些娃娃们竟有一直数到十的本领呢！
现在，我们都习惯地认为，我们想把某个数字写成多大，就能写得多大——战争经费以分为单位来表示啦，天体间的距离用英寸来表示啦，等等——只要在某个数字的后面接上一串零就是了。你可以一直这样写下去，直到手腕发酸为止。这样，尽管目前已知的宇宙中所有原子的数目已经很大，等于300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000，但是，你还可以写出比这更大的数目来。
上面这个数可以改写得短一些，即写成
3×1074，
在这里，10的右上角的小号数字74表示应该写出多少个零。换句话说，这个数字意味着3要用10乘上74次。
但是在古代，人们并不知道这种简单的“算术简示法”。这种方法是距今不到两千年的某个佚名的印度数学家发明的。在这个伟大发明——这确实是一项伟大的发明，尽管我们一般意识不到这一点——出现之前，人们对每个数位上的数字，是用专门的符号反复书写一定次数的办法来表示的。例如，数字8732在古埃及人写来是这样的：
而在恺撒（Julius Caesar）的衙门里，他的办事员会把这个数字写成
MMMMMMMMDCCXXXII
这后一种表示法你一定比较熟悉，因为这种罗马数字直到现在还有些用场——表示书籍的卷数或章数啦，各种表格的栏次啦，等等。不过，古代的计数很难得超过几千，因此，也就没有发明比一千更高的数位表示符号。一个古罗马人，无论他在数学上是何等训练有素，如果让他写一下“一百万”，他也一定会不知所措。他所能用的最好的办法，只不过是接连不断地写上一千个M，这可要花费几个钟点的艰苦劳动啊。
恺撒时代的一个古罗马人试图用罗马数字来写“一百万”，墙上挂的那块板恐怕连“十万”也写不下
在古代人的心目中，那些很大的数目字，如天上星星的颗数、海里游鱼的条数、岸边砂17子的粒数，等等，都是“不计其数”，就像“5”这个数字对原始部族来说也是“不计其数”，只能说成“许多”一样。
阿基米德（Archimedes），公元前三世纪大名鼎鼎的大科学家，曾经开动他那出色的大脑，想出了书写巨大数字的方法。在他的论文《计砂法》中这样写着：
有人认为，无论是在叙拉古，还是在整个西西里岛，或者在世界所有有人烟和无人迹之处，砂子的数目是无穷的。也有人认为，这个数目不是无穷的，然而想要表达出比地球上砂粒数目还要大的数字是做不到的。很明显，持有这种观点的人会更加肯定地说，如果把地球想象成一个大砂堆，并在所有的海洋和洞穴里装满砂子，一直装到与最高的山峰相平，那么，这样堆起来的砂子的总数是无法表示出来的。但是，我要告诉大家，用我的方法，不但能表示出占地球那么大地方的砂子的数目，甚至还能表示出占据整个宇宙空间的砂子的总数。
阿基米德在这篇著名的论文中所提出的方法，同现代科学中表达大数目字的方法相类似。他从当时古希腊算术中最大的数“万”开始，然后引进一个新数“万万”（亿）作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位）、“亿亿亿”（第四阶单位），等等。
写个大数字，看来似乎不足挂齿，没有必要专门用几页的篇幅来谈论。但在阿基米德那个时代，能够找到写出大数字的办法，确实是一项伟大的发现，使数学向前迈出了一大步。
为了计算填满整个宇宙空间所需的砂子总数，阿基米德首先得知道宇宙的大小。按照当时的天文学观点，宇宙是一个嵌有星星的水晶球。阿基米德的同时代人，著名的天文学家，萨摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus）求得从地球到天球面的距离为10 000 000 000斯塔迪姆，即约为1 000 000 000英里。
阿基米德把天球和砂粒的大小相比，进行了一系列足以招小学生吓出梦魇症来的运算，最后他得出结论说：
很明显，在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的砂子粒数，不会超过一千万个第八阶单位。
这里要注意，阿基米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家们所观察到的小得多。十亿英里，这只不过刚刚超过从太阳到土星的距离。以后我们将看到，在望远镜里，宇宙的边缘是在5 000 000 000 000 000 000 000英里的地方，要填满这样一个已被观测到的宇宙，所需要的砂子数超过
10100粒（即1的后面有100个零）。
这个数字显然比前面提到的宇宙间的原子总数3×1074大多了，这是因为宇宙间并非塞满了原子。实际上，在一立方米的空间内，平均才只有一个原子。
要想得到大数目字，并不一定要把整个宇宙倒满砂子，或进行诸如此类的剧烈活动。事实上，在很多乍一看来似乎很简单的问题中，也常会遇到极大的数字，尽管你原先决不会想到，其中会出现大于几千的数字。
有一个人曾经在大数目字上吃了亏，那就是印度的舍罕王（Shirham）。根据古老的传说，舍罕王打算重赏象棋的发明人和进贡者、宰相西萨·班·达依尔（Sissa Ben Dahir）。这位聪明大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”
“爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的。”说着，他令人把一袋麦子拿到宝座前。
计数麦粒的工作开始了。第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒，……还没到第二十格，袋子已经空了。
机敏的数学家西萨·班宰相正在向印度的舍罕王请求赏赐
一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食，国王也兑现不了他对西萨·班许下的诺言了，因为这需要有18 446 744 073 709 551 615颗麦粒呀！
这个数字不像宇宙间的原子总数那样大，不过也已经够可观了。1蒲式耳18小麦约有5 000 000颗，照这个数，那就得给西萨·班拿来四万亿蒲式耳才行。这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所生产的全部小麦！
这么一来，舍罕王发觉自己欠了宰相好大一笔债。要么是忍受西萨·班没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他的脑袋。据我猜想，国王大概选择了后面这个办法。
另一个由大数目字当主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的问题有关的。偏爱数学的历史学家鲍尔（Ball）是这样讲述这段故事的：
在世界中心贝拿勒斯19的圣庙里，安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针。每根针高约1腕尺（1腕尺大约合20英寸），像韭菜叶那样粗细。梵天20在创造世界的时候，在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的64片金片。这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则，把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪一根针上，小片永远在大片的上面。当所有64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
一个僧侣在大佛像前解决“世界末日”的问题。为了省事起见，这里没有画出64片金片来
上图是按故事的情节所作的画，只是金片少画了一些。你不妨用纸板代表金片，拿长钉代替宝石针，自己搞这么一个玩具。不难发现，按上述规则移动金片的规律是：不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数总要比移动上面一片增加一倍。第一片只需一次，下一片就按几何级数加倍。这样，当把第64片也移走后，总的移动次数便和西萨·班·达依尔所要求的麦粒数一样多了！
把这座梵塔全部64片金片都移到另一根针上，需要多长时间呢？一年有31 536 000秒。假如僧侣们每一秒钟移动一次，日夜不停，节假日照常干，也需要将近58万亿年才能完成。
把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒是有意思的。按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星（包括地球）是在大约30亿年前由不定形物质形成的。我们还知道，给恒星，特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100 ~ 150亿年。因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于200亿年，而不像这个印度传说中所宣扬的那样长！不过，传说毕竟只是传说啊！
法国著名数学家拉普拉斯说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”
实际生活确实如此。婴儿出生时的男女比例、概率天气预报、一个人每年可能遇到危险的概率、彩票中奖概率……这些都与概率问题直接相关，概率论已经渗透到生活的方方面面。让我们一起进入奇妙的“可能性世界”中探寻，学习如何从偶然事件中寻找隐藏的必然规律吧！