§2.3 多体系统的单粒子格林函数（T=0）

一、定义

多体系统的单粒子格林函数是前面讲过的含时单粒子格林函数的发展，描述在多体系统中某一时刻放入一个粒子并在另一时刻取出的传播概率，其定义是

,（2.3.1）其中r和ξ分别是电子的空间与自旋坐标，以后我们用x来统一代表和是二次量子化表象下的场算符，|φ0N〉表示有N个粒子的基态．格林函数定义在海森伯表象，所以场算符会随时间变化．算符T是时序乘积（编时）算符，对费米系统其定义是

t＞t＇的情况描写的是在t＇时刻在x＇处放入的一个粒子，在t时刻传播到x的概率振幅；而t＜t＇的情况是描写在t时刻在x处放入的一个空穴，在t＇时刻传播到x＇的概率．

二、Lehmann表示

如果用|φmN+1〉表示有N+1个粒子的多体系统的本征态，Em（N+1）为其本征能量，则对于t＞t＇情况，由定义式（2.3.1）格林函数可表示为

这里εm≡Em（N+1）-E0（N）, E0（N）为有N个粒子的系统基态|φ0N〉的能量，而

如果|φmN+1〉是激发态，则显然有εm＞μ, μ是系统在T=0时的化学势．

与此相似，用表示有N-1个粒子的系统本征态，为其能量．记，对激发态，并定义

则对于t＜t＇的情况可以得到

把（2.3.3）式与（2.3.4）式合并得到

其中标记m既是N+1个粒子本征态的标记也是N-1个粒子本征态的标记．这个形式与单粒子含时格林函数（2.1.17）式很像，不过现在fm（x）的意义与（2.1.17）式中的φm（r）不同，它并不是单粒子的波函数．

对（2.3.5）式作傅氏变换得到

其中

这个形式与不含时的单粒子格林函数（2.1.4）式相似．除了上面指出的fm不是单粒子本征函数φm外，εm与单粒子问题中的能量本征值λm也不同，它类似于§ 1.3在哈特里-福克近似下由K oop m an定理给出的单粒子的能量Ei.

三、谱函数

由以上的相似性，我们可以知道G（E, x, x＇）的虚部也是多体系统能谱的反映．与此相应，我们可以定义一个“谱加权函数”（spectralweightfunction）

如果按照图2.3.1取积分路径，则（2.3.7）式为

谱函数还有其他性质．例如，多体系统的态密度的定义为

根据定义，包括产生粒子或空穴的各种fm，可以得到

所以有关系式

多体系统的格林函数可以用任何一组完备正交归一的函数集来表示．常用的另一个表象是动量表象．在用动量表象时可以把自旋σ单独标出，对应G（x, x＇; t-t＇）有（k, k＇; t-t＇），对应G（E, x, x＇）有，它们的直接定义为

在动量表象也可以定义谱函数

其中f（ξ）是自旋空间的波函数．利用（2.3.9）式可以得到在动量表象中格林函数和谱函数的关系

其中积分路径和图2.3.1所示一样．和（2.3.12）式相似，在动量表象中谱函数满足

如果系统具有空间的平移对称性（自由空间电子气），则G（x, x＇; t-t＇）只是r-r＇的函数．这样由（2.3.14）式可以看出

在动量表象的能态密度公式（2.3.10）可表示为

其中Aσσ（k, E）是的对角部分．由（2.3.15）和（2.3.17）两式可得

由谱加权函数A的定义（2.3.8）式可知Aσσ（k, E）是实数．根据恒等式

其中P表示取积分主值，可以得到

在此为了简化已将自旋指标σ略去．

现在来看格林函数G（E, x, x＇）和g（k, E）在整个的复平面上的性质．我们知道G（E）是G（τ）的傅氏系数，后者是由前者沿实轴积分而得到．从（2.3.5）式可以得到，当t-t＇=τ＞0时，

当t-t＇=τ＜0时，

所以，如果我们以E的实轴为横轴，以μ为原点把E的整个复平面划成四个象限，则从（2.3.21）两式可看出G（E）的奇点分布在第二和第四象限．在第一和第三象限G（E）是完全解析的，没有奇点．这也就是说，G（E）的某一奇点εc应满足以下性质

如果εc是连续谱，则对应割缝．

对于无相互作用的费米子体系，εc趋于实数（虚部无穷小）：

这就是我们前面的（2.3.7）式．

对于有相互作用的系统，一般的结果是G（E）有奇点εc但它的虚部不一定是无穷小．现在来具体地分析一个关于奇点的模型，并考察它的物理意义．假设在第四象限有一个奇点，它对格林函数的贡献是

其中εc=ε1-iΓ, Γ＞0, ε1＞μ．利用时间和频率空间格林函数的关系

把（2.3.24）式代入可以得到这个奇点对g（k, t）的贡献，当t＞0时有

它相当于一个激发能量为ε1，而衰减寿命为的粒子．（作为练习，读者可以自己推导ε1＜μ的激发空穴的情况．）在多体系统中这种和单粒子相似的激发状态被统称为准粒子．

考虑较复杂的情况z=z1+iz2，由（2.3.20）可以得出相应的谱加权函数

它是一个洛伦兹型峰．当Γ→0时，如果z1→1及z2→0，在ε1附近则有

和无相互作用多粒子体系的谱函数（2.3.8）式一致．

可以示意性地画出有相互作用系统和无相互作用系统的奇点分布来进行对比，如图2.3.2．如果把奇点与动量相对应，显然E=μ的奇点对应于hkF，即费米动量．

格林函数还可以给出系统基态中准粒子按动量的分布nk，显然

由（2.3.20）式可知

如果A（k, E）在（kF, μ）附近为，则代入（2.3.29）式可以得到nk在kF附近有一个不连续

其中和分别为费米面内和外的两点，满足，而

如图2.3.3所示，当s=0时，这就是无相互作用多粒子体系的费米分布．在一般情况，∞＞s＞0，所以，表明nk在kF处不连续，也就是说系统有明显的费米面．在s=∞的极端情况，，说明粒子分布函数是连续的，明显的费米面消失．实际上，一般多电子系统都属于∞＞s＞0的中间情况．从（2.3.26）式可知准粒子能量的虚部Γk越小则寿命越长．在一般情况下，当k=kF时Γk的绝对值最小，这表示在费米面附近的准粒子有很长的寿命，所以把它用单粒子近似来描述是基本符合实际的．