注释

§12.1

[12.1]这里“可缩性”是在同伦（见§7.2，图7.2）意义上说的，因此不允许“消去”反向环线段，这种多连通属同伦论内容。见Huggett and Jordan（2001）；Sutherland（1975）。

[12.2]严格来说，这里的讨论尚未完成，因为我拿不出令人信服的理由来证明，如果两端固定，纸带的2π扭转就一定不能连续地解开。***〔12.17〕见Penrose and Rindler（1984），41－44页。

[12.3]这里我们将气体分子处理成点粒子。对于有内部自由度或转动自由度的分子来说，P的维数要大得多。

§12.2

[12.4]普通的“流形”概念假定，空间M首先是一种拓扑空间。对空间M赋以拓扑就是明确指出这里的点集是所谓“开”的（参见§7.4）。开集具有这样的属性：两个开集的交是开集，它们的并（有限或无限）也是开集。另外，对文中所说的豪斯道夫条件，是指通常要求M的拓扑受到其他方面限制，特别是它必须满足所谓“仿紧性”要求。对这个概念以及与此相关概念的意义，有兴趣的读者可参阅Kelley（1965）；Engelking（1968）或其他有关普通拓扑学的标准教材。但就本书目的而言，仅需假定M是由Rn的局域有限的开区域拼块构成的就已足够，这里“局域有限”是指每个拼块仅与数量有限的其他拼块相交。

在流形定义里往往要求的最后一项条件是，它是连通的，这意味着它只包含“一个”集合（意思是它不是两个不相连的非空开集的并）。这里我不坚持这一点。如果需要连通性，我们将适时明确指出。

[12.5]例如，见Kobayashi and Nomizu（1963）；Hicks（1965）；Lang（1972）；Hawking and Ellis（1973）。定义流形M的一种有趣方法，是直接从定义在M上的标量场的可交换代数出发重构M本身，见Chevalley（1946）；Nomizu（1956）；Penrose and Rindler（1984）。这一想法推广到非交换代数，便有了Alain Connes（1994）的“非交换几何”概念，这个概念为“量子时空几何”提供了一种现代的处理手段（见§33.1）。

§12.3

[12.6]见Helgason（2001）；Frankel（2001）。

[12.7]由1形式α定义的（n－1）维平面元族与1参数（n－1）维曲面族切触（故对某些标量场λ，Φ，有α=λdΦ）的一般条件称为弗罗贝尼乌斯条件：α∧dα=0，见Flanders（1963）。

[12.8]概念混乱容易出现在这种地方：例如像“dxr”在“经典”概念里表示无穷小位移（矢量），而在我们这里，它表示余矢量。事实上，这里采用的记法是协调一致的，但需要我们保持清醒的头脑。从上指标r看，dxr似乎具有矢量特征，如果我们按§12.8将r视作抽象指标，那么它就是矢量。另一方面，如果将r视作数字指标，如r=2，那么dxr代表的就是余矢量，即标量y=x2（“x2”不是x的平方）的梯度dx2。但这要取决于对“d”的理解，它代表的是梯度而不是经典意义上的无穷小记号。实际上，如果我们将r视为抽象指标，d视为梯度，那么“dxr”其实就是（抽象的）克罗内克δ！

§12.5

[12.9]这是一种类推，如果从“无穷小”观点来看“dx”的话。这里从“dx∧dy”的反交换性质可知，我们正在用定向面积测度方法对密度进行运算。

[12.10]这个术语是N. M. J. Woodhouse向我提议的。有时这个定理称为斯托克斯定理。但这似乎很不恰当，因为斯托克斯的唯一贡献就是把这个明显得自Willian Thomson（1824～1907，Lord Kelvin即开尔文勋爵）的命题变成了（剑桥大学）史密斯奖竞赛题。

§12.6

[12.11]见Flanders（1963）。（在这本书里，凡我称为“庞加莱引理”的地方指的都是其逆定理。）

[12.12]关于拓扑空间的紧致性有更为广泛应用性定义，但它不如我们这儿给出的这么直观。空间R是紧的是指，对每一种将R表为开集并（the union of open sets）的方式，都存在这些开集（它们的并仍在R内）的有限集合。

[12.13]有关这些问题的更多材料见Willmore（1959）。

§12.7

[12.14]这个“对偶”概念与§12.3里描述的余矢量是矢量的“对偶”这种对偶概念有很大的不同。它与另一个“对偶”概念——Hodge对偶——密切相关。这种对偶性在电磁理论（§19.2）里多有应用，它的各种变体则在量子引力（§31.14，§32.2，§§33.11，12）和粒子物理（§25.8）的各种处理中起着重要作用。遗憾的是，在所有这些场合，数学术语上的局限性有可能使人造成错觉。

[12.15]见Penrose and Rindler（1984），165，166页。

§12.8

[12.16]见Penrose（1968），135～141页；Penrose and Rindler（1984），68～103页；Penrose（1971）。

[12.17]见Penrose（1968）；Penrose and Rindler（1984，1986）；Penrose（1971）和O'Donnell（2003）。

[12.18]有时p+q的值用秩这个术语来表示，但这容易让人糊涂，因为在与矩阵相关的概念里，“秩”具有独立意义。见§13.8里的注释13.10。

[12.19]这意味着A，…，C；F，…，H里的每一个都是独立线性的，亦见§§13.7～10。

[12.20]见Penrose and Rindler（1984），附录；Penrose（1971）；Cvitanovič and Kennedy（1982）。

§12.9

[12.21]这个称为“由J构造的尼詹休伊斯（Nijenhuis）张量”的表达式为零，我们可将其写成=0。

[12.22]Newlander and Nirenberg（1957）。

*〔12.1〕用更明白的语言解释这个维数。

***〔12.2〕说明如何利用练习〔12.8〕给出的R的表示来做到这一点。

**〔12.3〕试证：这么定义的“dΦ”满足如上所述的余矢量的“线性性”要求。

*〔12.4〕为什么？

*〔12.5〕试证：dx2有分量（0，1，0，…，0），它表示与x2=常数平面相切的超平面元。

**〔12.6〕用链式法则（见§10.3）证明：对于α=dΦ情形，表达式α·ξ与dΦ·ξ=ξ（Φ）一致。

**〔12.7〕该解释该式。

**〔12.8〕试证：φ∧χ=α∧…∧γ∧λ∧…∧ν，这里φ=α∧…∧γ，χ=λ∧…∧ν。

**〔12.9〕给出显式，对定积分，解释如何取上下限。

***〔12.10〕令G=，解释为什么G2=dx∧dy，将这个积分变换到极坐标（r，θ）（§5.1）下进行估值，由此证明G=。

**〔12.11〕利用上述关系，证明：d（Adx+bdy）=（∂B/∂x－∂A/∂y）·dxdy。

*〔12.12〕为什么？

***〔12.13〕假定练习［12.10］的结果成立，对p=1证明庞加莱引理。

**〔12.14〕直接证明：在这种坐标定义下，外导数满足所有“公理”。

***〔12.15〕试证：不论选择什么样的坐标系，只要形式分量αr．．．t的变换满足要求——形式α本身在坐标变换下保持不变，那么这种坐标定义给出的是同一个量dα。提示：这种变换恒等于§13.8给出的价张量分量的被动变换。

**〔12.16〕试证：为简单起见，所有这些条件均等价；在p=2情形下证明：α［rsαu］v=0的充分性。（提示：缩并两矢量的这个表式。）

***〔12.17〕将普通三维空间里的转动表示为矢量，其方向指向转动轴，转轴的长等于转角。证明：R的拓扑可由普通球面限定的（半径为π的）实心球来描述，曲面上的每一点均可叠合到其对径点。直接讨论证明：为什么表示2π转动的闭圈不能连续变形到一个点。