12.4 格拉斯曼积

现在我们来考虑用§11.6里定义的格拉斯曼积的概念来表示不同维张起的平面元。M的某一点上的二维平面元（或M上二维平面元场）可表为量

ξ∧η，

这里ξ和η是张起二维平面（见图11.6（a）和图12.10（a））的两个独立矢量（或矢量场）。量ξ∧η有时被当作（简单）双矢量。按上章末所述，简单双矢量的分量据ξ和η的各分量可表为：

简单双矢量ξ∧η的和ψ也称为双矢量，其分量ψrs具有关于r和s的反对称性质，即ψrs=－ψsr。

类似地，三维平面元（或这样的场）可表为简单三矢量

ξ∧η∧ζ，

这里，矢量ξ，η和ζ张起三维平面（图11.6（b）和图12.10（b）），其分量为

一般三矢量τ有完全反对称分量τrst，它总可表为这种简单三矢量的和。我们可按这种方式来定义由简单四矢量表示的四维平面元，等等。一般n矢量具有多个完全反对称分量集，并且它总可以表示为简单n矢量的和。

这里有个问题让人感到迷惑。现在我们似乎有两种不同方式来表示（n－1）维平面元：一种是1形式（余矢量），另一种是由张起（n－1）维平面的n－1个独立矢量的“楔积”得到的（n－1）维矢量。这两种方式描述的量在几何上有明显区别，但很微妙。我们可将1形式视为一种“密度”，而对（n－1）维矢量则不行。为了更清楚地说明这一点，我们先引入一般的p形式概念。

为从基础抓起，我们从1形式而不是从矢量出发来处理上述多维矢量。给定p个独立的1形式α，β，…，δ，组成楔积

α∧β∧…∧δ，

在坐标拼块上，它有如下分量（用§11.6引入的一般方括号指标记法）：

α［rβs…δu］。

这个量决定了（n－p）维平面元（或场），这种元素是不同个分别由α，β，…，δ单独决定的（n－1）维平面元的交（图12.10（c），（d））。这个量称为简单p形式。在p矢量情形下，最一般的p形式未必能直接表示为余矢量的楔积（当然p=0，1，n－1，n等情形除外），而是这些楔积的各项之和。从分量上看，一般p形式φ（在任一坐标拼块下）可表示为一组量

φrs…u

它对各指标r，s，…，u是反对称的（这里r，s，…，u中的每一个均从1取到n）。数目上这组量共有p个分量。所述反对称性意味着，如果交换任意一对指标，我们将得到一个与被交换量正好相反（差一负号）的量。利用§11.6定义的方括号，我们可将这种反对称性表示为方程**〔12.7〕

φ［rs…u］=φrs…u。

这里还要指出，作为p形式φ与q形式χ的楔积，（p+q）形式φ∧χ有分量

φ［rs．．．uχjk…m］，

反对称化对所有指标均成立（这里χjk…m是χ的分量）。**〔12.8〕类似记法亦可应用到p矢量与q矢量的楔积上。