8.4 紧黎曼曲面的亏格

首先我们按照曲面的拓扑来对其进行分类，就是说，按照曲面在连续变换中保持不变的性质来分类。二维可定向（见§12.6末）紧曲面是非常简单的。它可由称之为曲面亏格的单个自然数来给定。大致上说，我们要做的就是数一数曲面具有的“环柄”数。对于球面，亏格是0，环面的亏格是1。日常所用的茶杯的曲面亏格也是1（1个环柄），因此它与环面在拓扑上是相同的。常吃的纽结状椒盐饼的亏格是3。图8.9是一些例子。

图8.9 黎曼曲面的亏格就是它的“环柄”数目。球面的亏格是0，环面或茶杯状曲面的亏格是1。常吃的纽结状椒盐饼的亏格是3。

图8.10 为了构建亏格为1的黎曼曲面，我们取平行四边形界定的复平面区域，其顶点分别（依次标定）为0，1，1+p，p，然后将对边粘合起来。量p给出的是黎曼曲面的模。

除了亏格0之外，亏格本身并不能确定曲面。我们还需要知道某些复参数，它们称为模。让我用环面（亏格1）来解释这个问题。构造亏格1的黎曼曲面的一种简单方法，是取一个由平行四边形界定的复平面区域，譬如说顶点分别为0，1，1+p，p（依次标定）的区域，见图8.10。现在，我们想象将这个四边形的对边粘合起来，即0到1的边与p到1+p的边相粘，0到p的边与1到1+p的边相粘。（只要愿意，我们总能够找到其他拼块来覆盖缝。）粘合生成的黎曼曲面就是拓扑上等价的环面。可以证明，对不同的p值，结果曲面通常并不彼此等价。就是说，我们不可能运用全纯映射从一个变换到另一个。（但也存在某些零散的等价关系，像用1+p或用－p或1/p来取代p形成的曲面之间的关系。***〔8.8〕）考虑图8.11所示的两种情形，我们很容易从直观上理解不是所有具有相同拓扑的黎曼曲面都可以等价的。对其中的一个图形我取非常小的p值，我们得到的是一个细长的环面，而另一个图形的p值则取得接近i，故而环面肥美。直观上可以很清楚地看出，这二者之间不可能共形等价，事实也的确是这样。

图8.11 两个不等价的环面拓扑型黎曼曲面。

对亏格1只存在一个复模数p，但对亏格2我们发现有三个复模数。为了能像对亏格1我们构造了平行四边形那样，通过粘贴来构造亏格2的黎曼曲面，我们可以用双曲平面来构造所需的形状，见图8.12。这对更高亏格的情形也是成立的。对亏格g（这里g≥2）的复模数m，有m=3g－3。

图8.12 超双曲平面的八角形区域，通过粘合产生亏格2的黎曼曲面。

人们或许会奇怪，复模数的公式3g－3怎么会对所有亏格值g=2，3，4，5，…都有效，而只对g=0或1失效。对此我们有实际的“理由”，它必须结合复参数s一起来考察，这个参数是规定黎曼曲面的不同的连续（全纯）自变换性质所需的。对g≥2，不存在这种连续自变换（虽然存在离散的自变换），故s=0。但对g=1，图8.10的平行四边形的复平面可在平面内任意方向上平移（无转动的刚性运动）。位移量（和方向）可用单个复参数a来具体确定，因此平移可通过zz+a来实现，故当g=1时s=1。在球面（亏格0）情形，自变换是通过双线性变换来实现的，即z（az+b）/（cz+d）。这里自由度由三个[3]独立比值a：b：c：d给定。因此对g=0情形，我们有s=3。这样，对所有情形，确定自变换所需的复模数和复参数之间的差m－s满足

m－s=3g－3。

（这个公式还与更深层次的问题有关，但这已超出本书的范围了。[4]）

很显然，在通过共形（全纯）变换来改变黎曼曲面的表观“形状”，但同时保持黎曼曲面的结构性质不变方面，存在着相当大的自由度。例如，在球面拓扑情形，有许多度量几何都是可行的（如图8.13所示）；但它们都共形于标准（“圆形的”）单位球面。（在§14.7我会更清楚地说明“度量”的概念。）而对于高亏格情形，表观上数量很大的关于曲面“形状”的自由度能够被削减为由上述公式给定的有限的几个复模数。但是，曲面的形状也还存在一些不受这种共形自由度（即由模本身规定的那些参数）约束的总体性质。这种自由度的应用在多大程度上有效是一个较难定论的问题。

图8.13 每个g=0的度量几何都共形全等于标准的（“圆形”）单位球面。