注释

§7.1

[7.1]对那些想系统了解这个问题的几何细节的读者，我建议你们去看Needham（1997）。

[7.2]我将在§10.5引入偏微分概念之后再给出这些公式。

§7.2

[7.3]说得更明确点儿，f“沿”路径z=p（t）（p是实参数t的光滑复值函数）的积分可表示为定积分，这里p（u）是路径起点a的值，p（v）是终点b的值。

§7.3

[7.4]柯西公式必定为真的“理由”是，对绕原点的小闭合圆环，f（z）实际上可看成是一个常数f（0），于是这种情形退回到§7.2的研究。

[7.5]这是这方面术语让人烦恼的地方。“域（domain）”有两重意义。一个是“复平面上连通的开区域”，我们这里不用这重意义。另一个就是我们这里所用的（如前§6.1）函数f被定义的复平面区域，它不必是开的或是连通的。

[7.6]欧拉最早考虑了这种ζ函数，但通常总是用黎曼来命名，以纪念他在将这个函数拓展到复平面上所做的基础性工作。

[7.7]注意这个级数与通常幂级数（－z）+（－z）2+（－z）3+…=－z（1+z）－1之间“上下颠倒”的奇妙关系。

[7.8]有关ζ函数和黎曼猜想的进一步内容请见Apostol（1976），Priestley（2003）。通俗评述见Derbyshire （2003），du Sautoy（2003），Sabbagh（2002），Devlin（1988，2002）。

*〔7.1〕解释：当n为不等于－1的整数时，为什么有∮zndz=0？

*〔7.2〕将f（z）的麦克劳林级数代入积分来证明这一点。

**〔7.3〕至少从形式上证明所有这些，不必是严格论证。

**〔7.4〕在一个闭周线Γ上，或在除了f有极点的有限点集之外的Γ内，函数f（z）处处是全纯的。从§4.4我们知道，在z=α位置上出现n阶极点的f（z）有形式h（z）/（z－α）n，这里h（z）在α位置是正则函数。证明：∮Γf（z）dz=2πi×｛这些极点的留数之和｝，其中极点α上的留数为hn－1（α）/（n－1）！。

***〔7.5〕通过在如下组成的闭周线Γ上积分z－1eiz证明x－1sin x dx=，该周线由实轴上从－R到－ε、从ε到R（R＞ε＞0）两部分和上半平面上半径分别为R和ε的两个半圆弧组成。然后令ε→0和R→∞。

***〔7.6〕通过在大周线上（譬如说以原点为中心的边长2N+1的正方形，N是一个大数）积分f（z）=z－2cot π z（见注释5.1），然后令N→∞来证明1+。（提示：利用练习［7.5］，求出f（z）的极点和留数。并证明为什么当N→∞时f（z）的周线积分趋于零。）

**〔7.7〕f（z）=1/z在点p的幂级数是什么？

**〔7.8〕导出这个级数。