2.1 柱的力学计算
通过学习本节篮球架支撑柱的力学计算，你将能够：
1）掌握混凝土和钢筋材料的性能；
2）了解柱的边界条件；
3）清楚柱常见的受荷情况；
4）学会手工计算和软件计算柱的内力和位移。
2.1.1 矩形柱的尺寸和材料
如图2-2所示，矩形柱是一个长方体，截面尺寸b×h，高H。
图2-2 矩形柱的尺寸
如图2-3所示钢筋混凝土柱包含两种材料：混凝土和钢筋。
图2-3 混凝土和钢筋
混凝土强度等级分为C15～C80，对应的弹性模量、抗压强度和抗拉强度如表2-1，抗拉强度比较小，所以设计时主要用混凝土的抗压强度。
表2-1 混凝土的材料性能
注：1.Ec——混凝土受压和受拉弹性模量，104N/mm2；
2.fc——混凝土轴心抗压强度的设计值，N/mm2；
3.ft——混凝土轴心抗拉强度设计值，N/mm2。
常用钢筋强度级别为：Ⅰ级钢、Ⅱ级钢、Ⅲ级钢和Ⅳ级钢，Ⅰ级钢为HPB300，Ⅱ级钢为HRB335，Ⅲ级钢为HRB400，Ⅳ级钢为HRB500，对应的弹性模量、抗拉强度和抗压强度见表2-2。
表2-2 普通钢筋的材料性能
注：1.Es——普通钢筋的弹性模量，×105N/mm2。
2.fy——普通钢筋的抗拉强度设计值，N/mm2。
3.
——普通钢筋的抗压强度设计值，N/mm2。
2.1.2 柱的边界条件
柱的边界条件指柱上下端的约束。每一端节点变形包括3个平移和3个转动，共6个位移，也叫6个自由度；如图2-4下端嵌固，不允许X、Y、Z向平移和转动，上端自由，没有约束。
图2-4 悬臂柱的边界条件
2.1.3 柱顶的荷载
如图2-5所示，柱顶的常见荷载有3个：竖向荷载、扭矩和水平荷载。
图2-5 柱顶的常见荷载
2.1.4 柱的位移和内力计算
6个柱顶位移为：3个平移ux、uy和uz，3个转动θx、θy和θz。
6个柱底内力为：轴力N，弯矩Mx和My，剪力Vx和Vy，扭矩T。
2.1.4.1 柱受压的内力和位移
几何：支撑柱截面尺寸b×h=400mm×500mm，柱高H=3000mm；
荷载：柱顶竖向荷载为篮球架重量Fz=20kN，容重25kN/m3；
材料：混凝土等级C30，纵筋和箍筋强度360N/mm2。
按材料力学公式[式（2-1）和式（2-2）]计算柱底轴力N和柱顶位移uz。
N=Fz+G （2-1）
式中 Fz——重力方向集中力；
G——柱自重；
E——柱弹性模量；
A——柱截面面积；
H——柱高。
（1）手工计算过程
柱底轴力： N=20+25×0.4×0.5×3=35（kN）
（2）利用结构计算软件验证计算
学会软件计算，可以快速计算结构内力和变形，大大提高将来工作中的计算能力。
软件计算4步骤如图2-6所示。
图2-6 软件计算4步骤
①起个工程名：指定存储的目录和工程名字；
②建立计算模型：输入几何、荷载和材料；
③软件计算：楼板计算和墙柱梁空间计算；
④查看内力和位移。
启动广厦结构CAD软件，出现图2-7所示广厦结构CAD主控菜单，点击[新建工程]，在弹出对话框中选择要存放工程的文件夹，若没有C：\GSCAD\EXAM\高校，可新建一个文件夹，并输入新的工程名：C：\GSCAD\EXAM\高校\柱.prj。
图2-7 广厦结构CAD主控菜单
点击[图形录入]，进入录入系统，图2-8中指明了图形录入各功能区的意义。
图2-8 图形录入功能区说明
建立计算模型5个步骤：
①填写总信息和各层信息；
②输入轴线和轴网；
③布置墙柱梁板；
④布置墙柱梁板荷载；
⑤编辑其他标准层。
在图2-9的图形录入中点击菜单[结构信息]-[GSSAP总体信息]，在弹出的GSSAP总体信息对话框中共有7页。如图2-10所示，对话框为总信息页，填写参数如下：
图2-9 建立计算模型5个步骤
图2-10 GSSAP总信息的输入
[结构计算总层数]填1；其余参数按默认值考虑。
切换到材料信息，如图2-11，填写[砼构件的容重]为25，所有钢筋强度为360N/mm2，其余参数不需修改。
图2-11 GSSAP材料信息的输入
点击[确定]按钮保存GSSAP总体信息的修改。
点击菜单[结构信息]-[各层信息]，按图2-12所示输入层几何信息。其中层高为3m。
图2-12 层几何信息的输入
然后切换到层材料信息（图2-13），如下输入[剪力墙砼等级] 
为C30。
图2-13 层材料信息的输入
点击屏幕菜单[轴网、辅助线和轴线]-[正交轴网]，在如图2-14对话框中输入上开间和左进深都是4000mm，点击[确定]关闭对话框。
图2-14 轴网对话框
然后在绘图区点击选择一个定位点，输入一个轴网。输入效果如图2-15所示：
图2-15 轴网
点击屏幕菜单[柱1]-[轴点建柱]，再点击参数窗口（见图2-8），弹出如图2-16所示柱截面对话框。在对话框中输入截面宽B=400mm，高H=500mm，角度0°，点击[确定]关闭对话框。
图2-16 柱截面的定义
然后在绘图区选择一个轴网交点，布置一根柱（图2-17）。
图2-17 柱的输入结果
点击屏幕菜单[剪力墙柱荷载菜单]-[加柱荷载]，然后点击参数窗口，弹出如图2-18所示对话框。在对话框中选择荷载类型为集中力；选择荷载方向为重力方向；输入集中力Q=20kN，距离柱底L=3000mm；选择工况为重力恒载。计算程序会自动计算柱的自重，不需要另外输入。
图2-18 柱集中力的定义
点击[确认]按钮关闭对话框。如图2-19，在绘图区选择刚才输入的柱，布置荷载柱顶集中力20kN。
图2-19 柱集中力的输入结果
点击图2-20所示工具栏1中的[保存]按钮，保存模型。点击工具栏2中的[生成GSSAP数据]按钮，生成计算数据。然后关闭图形录入。
图2-20 保存按钮和生成GSSAP数据按钮
在图2-21的主控菜单点击[楼板、砖混和次梁计算]，本例中虽然没有楼板、砖混或次梁，但根据软件设定仍需点击进入一次。进入以后直接退出。
图2-21 广厦结构CAD主控菜单
在主控菜单点击[通用计算GSSAP]，计算完毕后点击[退出]按钮关闭计算程序。
在主控菜单点击[图形方式]，可在图形上查看计算结果。如图2-22所示。
图2-22 图形方式界面
如图2-22所示，点击左侧工具栏[柱墙内力]，在弹出的对话框中选择[单工况内力]-[恒载]，如图2-23所示，可查得软件算得的柱底内力值N=-35kN，负号表示受压，与手工计算结果一致。
图2-23 集中力作用下的柱底轴力
如图2-22所示，点击左侧工具栏[三维位移]，在弹出的对话框中选择工况为恒载，选择显示方式为静态，鼠标移动到绘图区中显示的柱顶，则软件会如图2-24，显示柱顶位移。其中，Z向位移为-0.014mm，负号表示柱顶向下移动，表明柱受压缩的，与手工计算结果一致。
图2-24 集中力作用下的柱顶位移
2.1.4.2 柱受扭的内力和位移
上节的例子中，偏心水平撞击篮球筐时柱顶承受扭矩M=5kN·m，按材料力学公式[式（2-3）～式（2-7）]计算柱底扭矩T和柱顶绕轴转角θz。
T=Mz （2-3）
β=b/h （2-7）
式中 Mz——绕柱转动的扭矩；
H——柱高；
G——柱剪切模量；
E——柱弹性模量；
μ——柱泊松比，对于混凝土材料为0.2；
Iz——柱扭转惯性矩；
b——柱截面宽；
h——柱截面高；
β——柱截面短边与长边之比。
1）手工计算过程如下：
柱底扭矩：T=5kN·m
2）利用结构计算软件验证计算结果如下：
接2.1.4.1的例子，在图形录入中，点击屏幕菜单[剪力墙柱荷载菜单]-[加柱荷载]，然后点击参数窗口，在弹出的对话框中选择荷载类型为集中弯矩；选择荷载方向为重力方向；集中弯矩M=-5kN，距离柱底L=3000mm；选择工况为重力恒载，如图2-25所示。
图2-25 柱集中弯矩的定义
弯矩的输入方向可以这样判断：采用右手法则，四肢绕弯矩的旋转方向，大拇指方向即弯矩的方向。所输入的集中弯矩方向与重力方向相反，故输入负值。
点击[确认]按钮关闭对话框。在绘图区选择柱，将荷载输入到柱上，如图2-26所示。
图2-26 柱集中弯矩的输入结果
如图2-27点击工具栏1中的[保存]按钮，保存模型。点击工具栏2中的[生成GSSAP数据]按钮，生成计算数据。然后关闭图形录入。
图2-27 保存按钮和生成GSSAP数据按钮
在主控菜单点击[楼板、砖混和次梁计算]，进入以后直接退出。
在主控菜单点击[通用计算GSSAP]，计算完毕后点击[退出]按钮关闭计算程序。
在主控菜单点击[图形方式]，进入图形方式。点击左侧工具栏[柱墙内力]，在弹出的对话框中选择[单工况内力]-[恒载]，可查得软件算得的柱底内力值。此时点击柱，软件会弹出柱的所有工况所有截面断面的内力。可以看到柱底下表面以上部分的扭矩都是5kN·m（图2-28），与手工计算结果一致。
图2-28 集中弯矩作用下的柱底扭矩
点击左侧工具栏[三维位移]，在弹出的对话框中选择工况为恒载，选择显示方式为静态，鼠标移动到绘图区中显示的柱顶，则软件会显示柱顶位移如图2-29所示。其中，绕Z轴旋转为0.00022弧度，与手工计算结果一致。
图2-29 集中弯矩作用下的柱顶位移
2.1.4.3 柱受水平力的内力和位移
接力2.1.4.2例子，篮球筐承受水平力撞击时柱顶水平力Fy=10kN，按材料力学公式[式（2-8）～式（2-11）]计算柱底剪力Vy、弯矩Mx和柱顶位移uy、绕X轴转角θx。
Vy=Fy （2-8）
Mx=FyH （2-9）
式中 Fy——柱顶Y向水平集中力；
H——柱高；
E——柱弹性模量；
Ix——柱绕X轴转动惯性矩；
b——柱截面宽；
h——柱截面高。
（1）手工计算过程
柱底剪力：Vy=10kN
柱底弯矩：Mx=10×3=30（kN·m）
柱顶转角：E=3×104（N/mm2）=3×107（kN/m2）
（2）利用结构计算软件验证计算结果
接力2.1.4.2的例子，在图形录入中，点击屏幕菜单[剪力墙柱荷载菜单]-[加柱荷载]，然后点击参数窗口，在弹出的对话框中选择荷载类型为集中力；选择荷载方向为总体Y方向；集中力Q=10kN，距离柱底L=3000mm；选择工况为重力恒载，如图2-30所示。
图2-30 柱水平集中力的定义
点击[确认]按钮关闭对话框。在绘图区选择柱，将荷载输入到柱上，如图2-31所示。
图2-31 柱水平集中力的输入结果
如图2-32点击工具栏1中的[保存]按钮，保存模型。点击工具栏2中的[生成GSSAP数据]按钮，生成计算数据。然后关闭图形录入。
图2-32 保存按钮和生成GSSAP数据按钮
在主控菜单点击[楼板、砖混和次梁计算]，进入以后直接退出。
在主控菜单点击[通用计算GSSAP]，计算完毕后点击[退出]按钮关闭计算程序。
在主控菜单点击[图形方式]，进入图形方式。点击左侧工具栏[柱墙内力]，在弹出的对话框中选择[单工况内力]-[恒载]，可查得软件算得的柱底内力值，其中Vy为-10kN，负号表示与Y方向相反；Mx为30kN·m，与手工计算结果一致（图2-33）。
图2-33 水平集中力作用下的柱底剪力和弯矩
点击左侧工具栏[三维位移]，在弹出的对话框中选择工况为恒载，选择显示方式为静态，鼠标移动到绘图区中显示的柱顶，则软件会显示柱顶位移如图2-34所示。其中，绕X轴旋转θx为-0.00036弧度，与手工计算结果一致；Y向位移为0.734mm，比手工计算结果0.72mm大一点。这是因为式（2-10）忽略了截面剪切变形不均匀的影响，计算软件考虑了影响。
图2-34 集中弯矩作用下的柱顶位移