1.9 不同频率光波的叠加

本节讨论在同一方向上传播的振动方向相同、振幅相等而频率相差很小的两个单色光波的叠加。这样两个波叠加的结果将产生光学上有意义的“拍”现象。

1.9.1 光拍

设两个振幅相等，角频率分别为ω1 和ω2 的单色光波沿z方向传播，它们的波函数分别为

将这两个光波的叠加可以得到

式中

式（1.9-3）表明合成波是一个频率为而振幅受到调制的行波。图1.41示出了两个波的叠加，其中图（a）是两叠加光波，图（b）是合成波，图（c）表示合成波的振幅调制包络（调制波）。因为光频率很高，若ω1≈ω2，则。这样，虽然我们不能直接探测光频振动，但却有可能探测出调制波的振动。实际上，能探测的是光强。由式（1.9-3），合成波的光强为

这表示合成波的光强随时间和坐标z变化（图1.41）。如果我们在某一点（z=常数）探测合成波的光强，将探测到光强随时间做余弦变化①。这种合成波光强时大时小的现象称为拍。拍频等于2ωm（=ω1 .ω2），即两叠加光波的频率差。

合成波光强随时间周期性变化，其时间平均〈I〉 =2a2，故如上节所述，不同频率的两个波叠加不会产生干涉。

光拍在现代光学测试技术中有重要应用，它是检测微小频率差的一种特别灵敏和比较简单的方法。例如，在多普勒（C.J.Doppler，1803—1853）测速仪中，两束同频光束中的一束被运动物体反射，则由于多普勒效应而产生频移Δω，通过两束光形成拍来测定Δω，便可以推断运动物体的速度。

1.9.2 光的相速度和群速度

到目前为止，我们都只讨论了单色光波，并且在提到它的传播速度时，都是指它的等相面的传播速度，即相速度。本节涉及的两个不同频率的单色波的合成是一个较复杂的波，它的传播速度如何表示，下面我们来讨论这个问题。

式（1.9-3）表示的合成波包含两种传播速度：等相面的传播速度和等幅面的传播速度。前者就是这个合成波的相速度，它可由位相不变条件（）求出：

后者是振幅恒值点的移动速度，即图1.41（c）所示的振幅调制包络的移动速度，这个速度称为群速度。当两叠加光波在无色散的真空中传播时，它们的速度相同，因而合成波是一个波形稳定的拍，其相速度和群速度也相等。但是，如果光波在色散介质中传播，由于两光波的频率不同，两光波将以不同的速度传播，这时合成波的群速度将不等于相速度②（见图1.42）。合成波的群速度可以由振幅不变条件（kmz-ωmt=常数）求出：

在色散介质中，由于两光波有不同的传播速度，其合成波的波形将会在传播过程中不断地发生微小的变形，因此一般很难确切定义合成波的速度。不过对本节讨论的情况（ω1≈ω2，），可以认为合成波波形不变或变化极为缓慢，因此仍可用调制包络的移动速度来定义群速度。

当Δω很小时，可以写成

并由此得到群速度vg和相速度v的关系：

代入，得

上式表示，越大，即波的相速度随波长的变化越大，群速度vg和相速度两者相差也越大。对于在介质中发生正常色散的情况，，群速度小于相速度；而对于反常色散的情况，，群速度大于相速度。

以上讨论的是两个频率相差很小的单色光波叠加而成的复杂波的群速度。可以证明，对于多个不同频率的单色光波合成的复杂波，只要各个波的频度相差不大，它们只集中在某一“中心”频率附近，同时介质的色散又不大，就仍然可以讨论复杂波的群速度问题，并且式（1.9-6）～式（1.9-8）仍然适用。复杂波的群速度可以看做复杂波振幅最大处的传播速度，因为振幅最大处也是能量最集中的地方，所以群速度也可以认为是光能量或光信号的传播速度。在通常的利用光脉冲（光信号）进行光速测量的实验中，测量到的是光脉冲的传播速度，即群速度，而不是相速度。